尽管Transformer类的模型已经攻占了NLP的多数领域，但诸如LSTM、GRU之类的RNN模型依然在某些场景下有它的独特价值，所以RNN依然是值得我们好好学习的模型。而对于RNN梯度的相关分析，则是一个从优化角度思考分析模型的优秀例子，值得大家仔细琢磨理解。君不见，诸如“LSTM为什么能解决梯度消失/爆炸”等问题依然是目前流行的面试题之一...

经典的LSTM

经典的LSTM

关于此类问题，已有不少网友做出过回答，然而笔者查找了一些文章（包括知乎上的部分回答、专栏以及经典的英文博客），发现没有找到比较好的答案：有些推导记号本身就混乱不堪，有些论述过程没有突出重点，整体而言感觉不够清晰自洽。为此，笔者也尝试给出自己的理解，供大家参考。

RNN及其梯度 #

RNN的统一定义为
ht=f(xt,ht−1;θ)


其中ht是每一步的输出，它由当前输入xt和前一时刻输出ht−1共同决定，而θ则是可训练参数。在做最基本的分析时，我们可以假设ht,xt,θ都是一维的，这可以让我们获得最直观的理解，并且其结果对高维情形仍有参考价值。之所以要考虑梯度，是因为我们目前主流的优化器还是梯度下降及其变种，因此要求我们定义的模型有一个比较合理的梯度。我们可以求得：
dhtdθ=∂ht∂ht−1dht−1dθ+∂ht∂θ

可以看到，其实RNN的梯度也是一个RNN，当前时刻梯度dhtdθ是前一时刻梯度dht−1dθ与当前运算梯度∂ht∂θ的函数。同时，从上式我们就可以看出，其实梯度消失或者梯度爆炸现象几乎是必然存在的：当|∂ht∂ht−1|<1时，意味着历史的梯度信息是衰减的，因此步数多了梯度必然消失（好比limn→∞0.9n→0）；当|∂ht∂ht−1|>1，因为这历史的梯度信息逐步增强，因此步数多了梯度必然爆炸（好比limn→∞1.1n→∞）。总不可能一直|∂ht∂ht−1|=1吧？当然，也有可能有些时刻大于1，有些时刻小于1，最终稳定在1附近，但这样概率很小，需要很精巧地设计模型才行。

所以步数多了，梯度消失或爆炸几乎都是不可避免的，我们只能对于有限的步数去缓解这个问题。

消失还是爆炸？ #

说到这里，我们还没说清楚一个问题：什么是RNN的梯度消失/爆炸？梯度爆炸好理解，就是梯度数值发散，甚至慢慢就NaN了；那梯度消失就是梯度变成零吗？并不是，我们刚刚说梯度消失是|∂ht∂ht−1|一直小于1，历史梯度不断衰减，但不意味着总的梯度就为0了，具体来说，一直迭代下去，我们有
dhtdθ=∂ht∂ht−1dht−1dθ+∂ht∂θ=∂ht∂θ+∂ht∂ht−1∂ht−1∂θ+∂ht∂ht−1∂ht−1∂ht−2∂ht−2∂θ+…


显然，其实只要∂ht∂θ不为0，那么总梯度为0的概率其实是很小的；但是一直迭代下去的话，那么∂h1∂θ这一项前面的稀疏就是t−1项的连乘∂ht∂ht−1∂ht−1∂ht−2⋯∂h2∂h1，如果它们的绝对值都小于1，那么结果就会趋于0，这样一来，dhtdθ几乎就没有包含最初的梯度∂h1∂θ的信息了，这才是RNN中梯度消失的含义：距离当前时间步越长，那么其反馈的梯度信号越不显著，最后可能完全没有起作用，这就意味着RNN对长距离语义的捕捉能力失效了。

说白了，你优化过程都跟长距离的反馈没关系，怎么能保证学习出来的模型能有效捕捉长距离呢？

几个数学公式 #

上面的文字都是一般性的分析，接下来我们具体RNN具体分析。不过在此之前，我们需要回顾几条数学公式，后面的推导中我们将多次运用到这几条公式：
tanhx=2σ(2x)−1σ(x)=12(tanhx2+1)(tanhx)′=1−tanh2xσ′(x)=σ(x)(1−σ(x))


其中σ(x)=1/(1+e−x)是sigmoid函数。这几条公式其实就是说了这么一件事：tanhx和σ(x)基本上是等价的，它们的导数均可以用它们自身来表示。

简单RNN分析 #

首先登场的是比较原始的简单RNN（有时候我们确实直接称它为SimpleRNN），它的公式为：
ht=tanh(Wxt+Uht−1+b)


其中W,U,b是待优化参数。看到这里很自然就能提出第一个疑问：为什么激活函数用tanh而不是更流行的relu？这是个好问题，我们很快就会回答它。

从上面的讨论中我们已经知道，梯度消失还是爆炸主要取决于|∂ht∂ht−1|，所以我们计算
∂ht∂ht−1=(1−h2t)U


由于我们无法确定U的范围，因此|∂ht∂ht−1|可能小于1也可能大于1，梯度消失/爆炸的风险是存在的。但有意思的是，如果|U|很大，那么相应地ht就会很接近1或-1，这样(1−h2t)U反而会小，事实上可以严格证明：如果固定ht−1≠0，那么(1−h2t)U作为U的函数是有界的，也就是说不管U等于什么，它都不超过一个固定的常数。

这样一来，我们就能回答为什么激活函数要用tanh了，因为激活函数用tanh后，对应的梯度∂ht∂ht−1是有界的，虽然这个界未必是1，但一个有界的量不超过1的概率总高于无界的量，因此梯度爆炸的风险更低。相比之下，如果用relu激活的话，它在正半轴的导数恒为1，此时∂ht∂ht−1=U是无界的，梯度爆炸风险更高。

所以，RNN用tanh而不是relu的主要目的就是缓解梯度爆炸风险。当然，这个缓解是相对的，用了tanh依然有爆炸的可能性。事实上，处理梯度爆炸的最根本方法是参数裁剪或梯度裁剪，换句话说我人为地把U给裁剪到[−1,1]内，那不就可以保证梯度不爆了吗？当然，又有读者会问，既然裁剪可以解决问题，那么是不是可以用relu了？确实是这样子，配合良好的初始化方法和参数/梯度裁剪方案，relu版的RNN也可以训练好，但是我们还是愿意用tanh，这还是因为它对应的∂ht∂ht−1有界，要裁剪也不用裁剪得太厉害，模型的拟合能力可能会更好。

LSTM的结果 #

当然，裁剪的方式虽然也能work，但终究是无奈之举，况且裁剪也只能解决梯度爆炸问题，解决不了梯度消失，如果能从模型设计上解决这个问题，那么自然是最好的。传说中的LSTM就是这样的一种设计，真相是否如此？我们马上来分析一下。

LSTM的更新公式比较复杂，它是：
ft=σ(Wfxt+Ufht−1+bf)it=σ(Wixt+Uiht−1+bi)ot=σ(Woxt+Uoht−1+bo)ˆct=tanh(Wcxt+Ucht−1+bc)ct=ft∘ct−1+it∘ˆctht=ot∘tanh(ct)


我们可以像上面一样计算∂ht∂ht−1，但从ht=ot∘tanh(ct)可以看出分析ct就等价于分析ht，而计算∂ct∂ct−1显得更加简单一些，因此我们往这个方向走。

同样地，我们先只关心1维的情形，这时候根据求导公式，我们有
∂ct∂ct−1=ft+ct−1∂ft∂ct−1+ˆct∂it∂ct−1+it∂ˆct∂ct−1


右端第一项ft，也就是我们所说的“遗忘门”，从下面的论述我们可以知道一般情况下其余三项都是次要项，因此ft是“主项”，由于ft在0～1之间，因此就意味着梯度爆炸的风险将会很小，至于会不会梯度消失，取决于ft是否接近于1。但非常碰巧的是，这里有个相当自洽的结论：如果我们的任务比较依赖于历史信息，那么ft就会接近于1，这时候历史的梯度信息也正好不容易消失；如果ft很接近于0，那么就说明我们的任务不依赖于历史信息，这时候就算梯度消失也无妨了。

所以，现在的关键就是看“其余三项都是次要项”这个结论能否成立。后面的三项都是“一项乘以另一项的偏导”的形式，而且求偏导的项都是σ或tanh激活，前面在回顾数学公式的时候说了σ和tanh基本上是等价的，因此后面三项是类似的，分析了其中一项就相当于分析了其余两项。以第二项为例，代入ht−1=ot−1tanh(ct−1)，可以算得
ct−1∂ft∂ct−1=ft(1−ft)ot−1(1−tanh2ct−1)ct−1Uf


注意到ft,1−ft,ot−1,都是在0～1之间，也可以证明|(1−tanh2ct−1)ct−1|<0.45，因此它也在-1～1之间。所以ct−1∂ft∂ct−1就相当于1个Uf乘上4个门，结果会变得更加小，所以只要初始化不是很糟糕，那么它都会被压缩得相当小，因此占不到主导作用。跟简单RNN的梯度(6)相比，它多出了3个门，所以这个变化说白点就是：1个门我压不垮你，多来几个门还不行么？

剩下两项的结论也是类似的：
ˆct∂it∂ct−1=it(1−it)ot−1(1−tanh2ct−1)ˆctUiit∂ˆct∂ct−1=(1−ˆc2t)ot−1(1−tanh2ct−1)itUc

所以，后面三项的梯度带有更多的“门”，一般而言乘起来后会被压缩的更厉害，因此占主导的项还是ft，ft在0～1之间这个特性决定了它梯度爆炸的风险很小，同时ft表明了模型对历史信息的依赖性，也正好是历史梯度的保留程度，两者相互自洽，所以LSTM也能较好地缓解梯度消失问题。因此，LSTM同时较好地缓解了梯度消失/爆炸问题，现在我们训练LSTM时，多数情况下只需要直接调用Adam等自适应学习率优化器，不需要人为对梯度做什么调整了。

当然，这些结果都是“概论”，你非要构造一个会梯度消失/爆炸的LSTM来，那也是能构造出来的。此外，就算LSTM能缓解这两个问题，也是在一定步数内，如果你的序列很长，比如几千上万步，那么该消失的还会消失。毕竟单靠一个向量，也缓存不了那么多信息啊～

顺便看看GRU #

在文章结束之前，我们顺便对LSTM的强力竞争对手GRU也做一个分析。GRU的运算过程为：
zt=σ(Wzxt+Uzht−1+bz)rt=σ(Wrxt+Urht−1+br)ˆht=tanh(Whxt+Uh(rt∘ht−1)+bc)ht=(1−zt)∘ht−1+zt∘ˆht


还有个更极端的版本是将rt,zt合成一个：
rt=σ(Wrxt+Urht−1+br)ˆht=tanh(Whxt+Uh(rt∘ht−1)+bc)ht=(1−rt)∘ht−1+rt∘ˆht

不管是哪一个，我们发现它在算ˆht的时候，ht−1都是先乘个rt变成rt∘ht−1，不知道读者是否困惑过这一点？直接用ht−1不是更简洁更符合直觉吗？

首先我们观察到，而h0一般全零初始化，ˆht则因为tanh激活，因此结果必然在-1～1之间，所以作为ht−1与ˆht的加权平均的ht也一直保持在-1～1之间，因此ht本身就有类似门的作用。这跟LSTM的ct不一样，理论上ct是有可能发散的。了解到这一点后，我们再去求导：
∂ht∂ht−1=1−zt−zt(1−zt)ht−1Uz+zt(1−zt)ˆhtUz+(1−ˆh2t)rt(1+(1−rt)ht−1Ur)ztUh


其实结果跟LSTM的类似，主导项应该是1−zt，但剩下的项比LSTM对应的项少了1个门，因此它们的量级可能更大，相对于LSTM的梯度其实更不稳定，特别是rt∘ht−1这步操作，虽然给最后一项引入了多一个门rt，但也同时引入了多一项1+(1−rt)ht−1Ur，是好是歹很难说。总体相对而言，感觉GRU应该会更不稳定，比LSTM更依赖于好的初始化方式。

针对上述分析结果，个人认为如果沿用GRU的思想，又需要简化LSTM并且保持LSTM对梯度的友好性，更好的做法是把rt∘ht−1放到最后：
zt=σ(Wzxt+Uzht−1+bz)rt=σ(Wrxt+Urht−1+br)ˆct=tanh(Whxt+Uhht−1+bc)ct=(1−zt)∘ct−1+zt∘ˆctht=rt∘ct


当然，这样需要多缓存一个变量，带来额外的显存消耗了。

文章总结概述 #

本文讨论了RNN的梯度消失/爆炸问题，主要是从梯度函数的有界性、门控数目的多少来较为明确地讨论RNN、LSTM、GRU等模型的梯度流情况，以确定其中梯度消失/爆炸风险的大小。本文属于闭门造车之作，如有错漏，请读者海涵并斧正。

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苏剑林. (Nov. 13, 2020). 《也来谈谈RNN的梯度消失/爆炸问题 》[Blog post]. Retrieved from https://spaces.ac.cn/archives/7888

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        title={也来谈谈RNN的梯度消失/爆炸问题},
        author={苏剑林},
        year={2020},
        month={Nov},
        url={\url{https://spaces.ac.cn/archives/7888}},
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