向量有两个乘法：点乘和叉乘，其结果又分别叫做数量积和向量积。在很多情况下，用这两个定义的乘法运算都能够给我们带来很大的方便（其实它就是在实际问题中抽象出来的）。不过，也有相当一部分的二维问题用复数来描述更为简洁。于是，为了整合两者的巧妙之处，有必要把向量的两个乘法运算“退化”到复数中去（为什么用“退化”？因为向量是多维的，可以是3维、4维等，而复数运算只是二维的，很明显这是一种“退化”而不是“拓展”^_^）

运算法则：

点乘：
总法则：Z1⋅Z2=|Z1||Z2|cos(argZ2Z1)
1⋅i=0i⋅i=1exp(iθ)⋅exp(iφ)=cos(φ−θ)iexp(iθ)⋅exp(iφ)=−sin(θ−φ)Z1⋅Z2=Z1ˉZ2+Z2ˉZ1

叉乘：
由于二维向量的叉积都指向第三维，所以可以认为复数的叉积结果都是一个数。
总法则：Z1×Z2=|Z1||Z2|sin(argZ2Z1)
1×i=1i×i=0exp(iθ)×exp(iφ)=sin(φ−θ)iexp(iθ)×exp(iφ)=−cos(θ−φ)Z1×Z2=(Z1ˉZ2−Z2ˉZ1)i

变换关系：
Z1×Z2=−Z2×Z1Z1×(iZ2)=Z1⋅Z2Z1⋅(iZ2)=−Z1×Z2

微分恒等关系：
Z⋅dZ=|Z|d|Z|


Z∗(idZ)=−(iZ)∗dZ=+−|Z|√dZ∗dZ−(d|Z|)2（正负待定）

于是，复数便有了三种乘法了。它们代表的意义都不一样！复数原来的乘法是一种旋转和伸长，而点积和叉积分别是有关两个复数的夹角的余弦和正弦。

这是用复数研究三体问题周期轨道时所悟到的思想，特此记录！

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苏剑林. (Feb. 04, 2011). 《[更新]将向量乘法“退化”到复数 》[Blog post]. Retrieved from https://spaces.ac.cn/archives/1188

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        title={[更新]将向量乘法“退化”到复数},
        author={苏剑林},
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