农村的孩子免不了常做家务,当然我家也没有什么特别沉重的家务,通常都是扫地、做饭、洗菜这些简单的活儿。说到洗菜,洗完菜后总喜欢边放水边搅水,然后就在水面上形成一个颇为有趣的漩涡。现在我们从数学物理的角度来分析一下这个漩涡。

在讲洗手盆的漩涡之前,我们先来看一下一个比较类似的、更古老的问题——牛顿的旋转液面问题。牛顿假设有一个水桶(假设为圆柱形吧,但这不重要),水桶在绕自己的中轴线匀角速度旋转,直到桶内的水也随着匀角速度旋转(即水与水桶相对静止),此时水的液面形状是凹的,我们来看看该液面的形状。

牛顿的水桶

要分析形状,我们还要回顾之前提到过的流体静力学平衡:
http://kexue.fm/archives/1964/

该定律告诉我们当流体达到平衡状态时,所受合外力必然与液面垂直。有了这个就相当好办了,取液面上的一滴小水珠,设其质量为m,它受到两个力的作用:地球的重力以及旋转产生的离心力。如图所示:

旋转的水桶.png

离心力:$m\omega^2 x$
重力:$mgy$
切向量:$(dx,dy)$

垂直就意味着:$\frac{dy}{dx}=tan\theta=\frac{m\omega^2 x}{mg}=\frac{\omega^2 x}{g}$

解得$y=\frac{\omega^2}{2g}x^2$

即这是一个旋转抛物面!

旋转抛物面.png

抛物面,读者能够联想到什么呢?天文爱好者应该不难联想到“牛反”!对,就是牛顿反射望远镜,它的主镜面也是旋转抛物面,只不过它一般是用固体制作的。其实当初牛顿发现这是一个旋转抛物面时,也曾想过用旋转的汞来做望远镜的镜面,但是一直以来各种干扰难以克服(稍微一晃就变形了),所以仅限于纸面上。然而随着技术的发展,这种旋转液面望远镜已经面世了,而且前景一片美好。

以下信息源自互联网:

世界上第一架液体望远镜是在20世纪50年代初,由苏联物理学家乌德用一盆水银布制成的。经过不断改进探索,加拿大科学家阿曼罗·博拉在80年代初制造出了第一架可供天文观测用的液体望远镜,镜头直径为45厘米。后来,博拉又用250千克水银制成了两台直径1米、一台直径1.6米的望远镜,并在水银面上加了一层特殊的透明树脂,既解决了外界因素对水银面的干扰,又避免了水银蒸发从而危害人体健康的问题。

1995年,美国航天局造出了直径3米的水银望远镜,安装在新墨西哥州,专门监视太空垃圾和近地小行星。其总成本不到50万美元,而通常像这样大小的望远镜制作费用至少为一二千万美元。

回到洗手盆

有生活经验的朋友会发现,洗手盆水所形成的漩涡明显不是旋转抛物面的,原因很简单,洗手盆的水经过搅动后还没有形成整体匀角速度旋转,仔细观察就会发现,它更像是整体匀速旋转。也就是说,速度大小是固定的,接近中心处角速度大些,较远处角速度小一些。这样我们只要把离心力这一项换成$\frac{m v^2}{x}$就行了,得到:

$\frac{dy}{dx}=tan\theta=\frac{\frac{m v^2}{x}}{mg}=\frac{v^2}{gx}$

解得
$y=\frac{v^2}{g} ln x$

这是一条对数曲线,将它绕y轴旋转时候就得到了大概的形状,画出来如下图

洗手盆液面.png

虽然不尽合理(没有与y轴相交的点),但显然这更接近我们所观察到的样子。


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