在之前的一篇向量系列的文章中,我们通过结合物理与向量来巧妙地推导出了曲线(包括平面和空间的)的曲率半径为
$R=\frac{v^2}{a_c}=\frac{|\dot{\vec{r}}|^3}{|\dot{\vec{r}}\times \ddot{\vec{r}}|}$————(1)

曲率则是曲率半径的导数:$\rho=\frac{1}{R}$。我们反过来思考一下:曲率恒定的平面曲线是否只有圆?

答案貌似是很显然的,我们需要证明一下。

由于只是考虑平面情况,我们先设$\dot{\vec{r}}=(v cos\theta,v sin\theta)=z=ve^{i\theta}$,代入(1)得到
$\frac{\dot{\theta}}{v}=\rho$————(2)

注意,这里我们用到了导数符号$\dot{\theta}$,但依旧还没有说明是对哪个变量求导的。我们发现要是$\dot{\theta}=\frac{d\theta}{dv}$的话,(2)是很容易求解的。于是我们就约定,函数上面的一点表示对变量v求导。这是一种“事后决定法”,因为这里求导的变量是随意的,适当的选择让我们更方便地求解。



这样,(2)的通解为:$\theta=1/2 \rho v^2+C_1$————(2)

继续换回x,y变量,我们有:$\frac{dz}{dv}=ve^{i\theta}=ve^{i(1/2 \rho v^2+C_1)}$————(3)

那么
$z=\int ve^{i\theta}=ve^{i(1/2 \rho v^2+C_1)}dv$
$=\frac{1}{\rho} e^{i(1/2 \rho v^2+C_1)}d(1/2 \rho v^2+C_1)=\frac{1}{\rho} e^{i(1/2 \rho v^2+C_1)}+C_2$————(4)

选取进行适当的平移使得$C_2=0$。有
$z=\frac{1}{\rho} e^{i(1/2 \rho v^2+C_1)}$————(5)

不难检验$|z|=\frac{1}{\rho}$。因此,这是一个圆。

注意这里的“复数”充当了一个“形式上”的作用,它是一个把正交的坐标运算结合为一个整体来运算的工具,而不是一个单纯的数。下一篇文章我们来探讨一下空间曲线和平面的类似问题。


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