相信高二理科的学生都会做过这样的一道题目:

光滑导轨-电磁感应.PNG
水平放置于匀强磁场中的光滑导轨上,磁感应强度为B,平衡导轨的距离为L,有一根导体棒ab,用恒力F作用在ab上,由静止开始运动,回路总电阻为R,求ab的最大速度。


对于高二学生来说,这样的题目是很好解决的。只要列出
$E=BLv,I=\frac{E}{R},f_1=BIL$,并根据当匀速运动时速度最大,由受力平衡有$f_1=F$,解得
(E:感应电动势;I:感应电流;f1:安培力)
$$v=\frac{FR}{B^2 L^2}$$

看似非常合理,可是BoJone在进一步分析这个问题时,却发现了很奇怪的现象:它根本不可能达到匀速运动状态!

我们从高等数学角度分析一下这个问题。设ab质量为m,其受力是$F-f_1=F-BIL=F-\frac{B^2 L^2 v}{R}$,由牛顿第二定律得到$ma=F-\frac{B^2 L^2 v}{R}$,记$p=\frac{F}{m},q=\frac{B^2 L^2 }{mR}$,得到
$$\ddot{s}=p-q\dot{s}$$

这是一个二阶微分方程,积分一次就得到$\dot{s}=pt-qs+C_1$,并且开始时候位移和速度都为0,有$C_1=0$

解方程$\dot{s}=pt-qs$得:
$$s = C_2 e^{-q t}+\frac{p}{q}t-\frac{p}{q^2}$$

同样根据开始时候位移为0得到$C_2=\frac{p}{q^2}$,于是就有
$$v=\dot{s}=\frac{p}{q}(1-e^{-qt})$$

显然,最大速度为$V_{max}=\frac{p}{q}=\frac{FR}{B^2 L^2}$,结果和高中的经典做法一样。可是,我们惊讶地发现,这个结果的取值,需要$t \to \infty$。换句话说,根本就达不到这个状态!

思考

显然,这个例子说明了教材的命题者并没有经过进一步的思考,草率地出了这一道题目,犯了“想当然”的错误。BoJone不禁提出一个疑问:对于一个中国高中生来说,进行上述分析的确过于苛刻,但是对于一个教材命题者来说,上述过程显然是可以轻而易举地完成的(受力分析,解答二阶线性微分方程),但为什么这一道“谬题”一出再出?难道功利性足以掩盖科学的严谨性?还是高中物理不需要严谨?还是欺负高中生不懂数学分析而随便“蒙混过关”?(BoJone承认,这评论过激了,抱歉...)

另一方面,这也告诉我们,不能盲目迷信权威。当我们拥有了更充足的科学知识时,不妨回头看看,对我们曾经“解决”过的问题进行再次分析,或许会有意外的收获!

后注:
物理定律始终有个精确度和适用范围问题,虽然本题的时间为无穷大,但是只要给定精确度,就存在一个有限大的时间内可以达到这个精确度,因此本题也无可厚非。本文(原文)写于高中的“血气方刚”之时,正好发现这现象,稍微激动了一些。也正是因为这道题,让我对物理的意义了解更为深入了一些。正所谓人生处处皆学问呀。(2011.02.12)


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