科学空间|Scientific Spaces

在拙作《“熵”不起：从熵、最大熵原理到最大熵模型（一）》中，笔者从比较“专业”的角度引出了熵，并对熵做了诠释。当然，熵作为不确定性的度量，应该具有更通俗、更形象的来源，本文就是试图补充这一部分，并由此给出一些妙用。

熵的形象来源

我们考虑由0-9这十个数字组成的自然数，如果要求小于10000的话，那么很自然有10000个，如果我们说“某个小于10000的自然数”，那么0～9999都有可能出现，那么10000便是这件事的不确定性的一个度量。类似地，考虑$n$个不同元素（可重复使用）组成的长度为$m$的序列，那么这个序列有$n^m$种情况，这时$n^m$也是这件事情的不确定性的度量。

$n^m$是指数形式的，数字可能异常地大，因此我们取了对数，得到$m\log n$，这也可以作为不确定性的度量，它跟我们原来熵的定义是一致的。因为
$$m\log n=-\sum_{i=1}^{n^m} \frac{1}{n^m}\log \frac{1}{n^m}$$

读者可能会疑惑，$n^m$和$m\log n$都算是不确定性的度量，那么究竟是什么原因决定了我们用$m\log n$而不是用$n^m$呢？答案是可加性。取对数后的度量具有可加性，方便我们运算。当然，可加性只是便利的要求，并不是必然的。如果使用$n^m$形式，那么就相应地具有可乘性。

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上集回顾

在上一篇文章中，笔者分享了自己对最大熵原理的认识，包括最大熵原理的意义、最大熵原理的求解以及一些简单而常见的最大熵原理的应用。在上一篇的文末，我们还通过最大熵原理得到了正态分布，以此来说明最大熵原理的深刻内涵和广泛意义。

本文中，笔者将介绍基于最大熵原理的模型——最大熵模型。本文以有监督的分类问题来介绍最大熵模型，所谓有监督，就是基于已经标签好的数据进行的。

事实上，第二篇文章的最大熵原理才是主要的，最大熵模型，实质上只是最大熵原理的一个延伸，或者说应用。

最大熵模型

分类：意味着什么？

在引入最大熵模型之前，我们先来多扯一点东西，谈谈分类问题意味着什么。假设我们有一批标签好的数据：
$$\begin{array}{c|cccccccc}
\hline
\text{数据}x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & \dots & 100 \\
\hline
\text{标签}y & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & \dots & 0\\
\hline \end{array}$$

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上集回顾

在第一篇中，笔者介绍了“熵”这个概念，以及它的一些来龙去脉。熵的公式为
$$S=-\sum_x p(x)\log p(x)\tag{1}$$
或
$$S=-\int p(x)\log p(x) dx\tag{2}$$
并且在第一篇中，我们知道熵既代表了不确定性，又代表了信息量，事实上它们是同一个概念。

说完了熵这个概念，接下来要说的是“最大熵原理”。最大熵原理告诉我们，当我们想要得到一个随机事件的概率分布时，如果没有足够的信息能够完全确定这个概率分布（可能是不能确定什么分布，也可能是知道分布的类型，但是还有若干个参数没确定），那么最为“保险”的方案是选择使得熵最大的分布。

最大熵原理

承认我们的无知

很多文章在介绍最大熵原理的时候，会引用一句著名的句子——“不要把鸡蛋放在同一个篮子里”——来通俗地解释这个原理。然而，笔者窃以为这句话并没有抓住要点，并不能很好地体现最大熵原理的要义。笔者认为，对最大熵原理更恰当的解释是：承认我们的无知！

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熵的概念

作为一名物理爱好者，我一直对统计力学中“熵”这个概念感到神秘和好奇。因此，当我接触数据科学的时候，我也对最大熵模型产生了浓厚的兴趣。

熵是什么？在通俗的介绍中，熵一般有两种解释：（1）熵是不确定性的度量；（2）熵是信息的度量。看上去说的不是一回事，其实它们说的就是同一个意思。首先，熵是不确定性的度量，它衡量着我们对某个事物的“无知程度”。熵为什么又是信息的度量呢？既然熵代表了我们对事物的无知，那么当我们从“无知”到“完全认识”这个过程中，就会获得一定的信息量，我们开始越无知，那么到达“完全认识”时，获得的信息量就越大，因此，作为不确定性的度量的熵，也可以看作是信息的度量，说准确点，是我们能从中获得的最大的信息量。

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