科学空间|Scientific Spaces

集合论的结果告诉我们，全体实数的集合$\mathbb{R}$跟全体无理数的集合$\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$是等势的，那么，如何构造出它们俩之间的一个双射出来呢？这是一个颇考读者想象力的问题。当然，如果把答案给出来，又似乎显得没有那么神秘。下面给出笔者构造的一个例子，读者可以从中看到这种映射是怎么构造的。

为了构造这样的双射，一个很自然的想法是，让全体有理数和部分无理数在它们自身内相互映射，剩下的无理数则恒等映射。构造这样的一个双射首先得找出一个函数，它的值只会是无理数。要找到这样的函数并不难，比如我们知道：

1、方程$x^4 + 1 = y^2$没有除$x=0,y=\pm 1$外的有理点，否则将与费马大定理$n=4$时的结果矛盾。

2、无理数的平方根依然是无理数。

根据这些信息，足以构造一个正实数$\mathbb{R}^+$到正无理数$\mathbb{R}^+ \backslash \mathbb{Q}^+$的双射，然后稍微修改一下，就可以得到$\mathbb{R}$到$\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$的双射。

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学过集合论的朋友应该会知道，按照定义，判断两个集合的“势”相同的最直接的方法就是给出这两个集合之间的一个双射。然而，这样的双射往往不容易想到，比如

请给出一个$[0,+\infty)$到$(0,+\infty)$的双射

但是，直观地看，这两个集合的势一定是相当的，而且这两个集合之间的双射有无穷多个。然而，大多数的我们却很难想出一个双射来。当我们看到构造出来的双射时，第一反应往往是：这样的证明是怎么想到的！？比如，上述问题的答案之一是：

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学过高中物理的同学都会知道，在经典力学和静电学理论中，万有引力和库仑力有着类似的性质，它们都与距离平方成反比。现在我从引力角度向大家提出一个问题：

一块密度均匀的无限大的平面板，它所产生的引力场是否均匀的？也就是说，板外任意一点的等质量物体受到的引力是否相同？

对于静电力也可以提出类似的问题，只要把引力换成库仑力，把质量换成电荷即可。只要类比有限的情况，我们就会得出结论：场一定是不均匀的！因为力与距离平方成反比，距离不同，受力就不等。果真如此吗？

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级数是数学的一门很具有实用性的分支，而级数求和则是级数研究中的核心内容之一。很多问题都可以表示成一个级数的和或积，也就是$\sum_{i=1}^n f(i)$或者是$\prod_{i=1}^n f(i)$类型的运算。其中，$\ln(\prod_{i=1}^n f(i))=\sum_{i=1}^n \ln(f(i))=k$，因此$\prod_{i=1}^n f(i)=e^k$，也就是说，级数求积也可以变为级数求和来计算，换言之我们可以把精力放到级数求和上去。

为了解决一般的级数求和问题，我们考虑以下方程的解：
$$f(x+\epsilon)-f(x)=g(x)\tag{1}$$ 其中g(x)是已知的以x为变量的函数式，$\epsilon$是常数，初始条件是$f(k)=b$，要求f(x)的表达式。

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昨天在浏览网页的时候，发现了一道有趣的方程：
$$x^{x^{x^{\dots}}}=2$$
各位读者先别急着往下看，不妨自己求解一下？

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