26
Jan
唠叨下，关于三体问题周期轨道
By 苏剑林 | 2011-01-26 | 32467位读者 | 引用
19
Feb
《方程与宇宙》:一种有趣的三体问题坐标
By 苏剑林 | 2011-02-19 | 22818位读者 | 引用通常来说，选取惯性系为参考系，列出的三体问题方程为
$$\ddot{\vec{r}}_k=\sum_{i=1,i != k}^{n} Gm_i\frac{\vec{r}_i-\vec{r}_k}{|\vec{r}_i-\vec{r}_k|^3}$$
历史上出现过很多不同形式的变换，使得三体问题的运动方程有了各样的形式，如Lagrange形式、Jacobi形式、Hamilton形式等。这些变换形式都各有特点，都能够在一定程度上化简三体问题。BoJone在研究摆弄等质量型三体问题的运动方程时，也发现了一种很有趣的变换，在此贴出与大家分享。
设$\vec{R}_1=\vec{r}_1-\vec{r}_2,\vec{R}_2=\vec{r}_2-\vec{r}_3,\vec{R}_3=\vec{r}_3-\vec{r}_1$，则三体问题的运动方程变为
30
Jul
IMO42-1，我也会做几何题
By 苏剑林 | 2011-07-30 | 28097位读者 | 引用七月再次“农忙”，农村里要插秧了，播下种苗，等待再次收获的季节^_^
我一直觉得我的数学能力偏向于分析计算而不擅长于几何，纵使遇到几何问题，也是满脑子的解析几何做法，没有纯几何的美。而这几天为了加强数学竞赛题目的能力，我一直在看IMO的题目，并且企图独立做出一些题目，但都无果。我比较感兴趣的是不等式，我感觉一道简单的式子，不用太多的文字就可以讲清楚的题目非不等式莫属，但是IMO的不等式题实在高深，我还没有能够独立做出一道来（参考答案可以看懂，只是想不到思路），或许是我在努力追求统一的方法而不肯研究那些特定的技巧的原因吧。不料今天看了一下2001年IMO的几何题目，发现我可能将它做出来，于是研究了一会，最终很幸运地做了出来。虽然不是最简单的方法，但也与大家分享一下。
IMO-42-1
如图，O是锐角三角形ABC的外心，AP是三角形的垂线段，∠B-∠C不小于30°。证明∠BAC+∠BOP < 90°
6
Jul
椭圆内的一根定长弦（化圆法）
By 苏剑林 | 2012-07-06 | 30551位读者 | 引用在上一篇文章《抛物线内的一根定长弦》中，我们解决了抛物线内的定长弦中点轨迹问题，那还算是一个比较简单的问题。虽然同是圆锥曲线，但把同样的问题延伸到椭圆上，却不是那么简单了。因为椭圆的轨迹方程的x,y坐标通过平方相互“纠缠”在一起，不像抛物线方程那样可以容易分离开来（指的是分离成$y=f(x)$的形式）。BoJone尝试了若干种方法，还是难以把它的轨迹求出来。最后通过“化圆法”，终得轨迹方程。
椭圆内的定长弦1
所谓化圆法，就是将椭圆通过拉伸变成一个圆，利用圆的性质来解决一些问题。众所周知，相比椭圆，圆具有相当多的简单性。这是我高考前研究各种各样的高考圆锥曲线题时，所总结出来的一种方法。有时候，把椭圆拉伸为圆后，结论就相当显然了；同时，圆作为一个特殊的椭圆，椭圆的一般结论，放在圆上自然也是成立的。所以要研究椭圆问题，不妨先研究它的特例——圆问题；另一方面，利用圆的对称性等等，也可以大幅度地减少计算量，所以BoJone很喜欢这个方法。更想不到的是，它居然在求本文的轨迹时派上用场了。
在上一篇文章中，我们已经得到了电偶极子的等势面和电场线方程，这应该可以让我们对电偶极子的力场情况有个大致的了解了。当然，我们还是希望能够求出在这样的一个受力情况下，一个带电粒子是如何运动的。简单起见，在下面的探讨中，我们假定带电粒子的质量和电荷量均为1，至于电荷的正负，可以通过改变在$U=-\frac{k \cos\theta}{r^2}$中的k值的正负来控制。我们使用的工具依旧是理论力学中的欧拉-拉格朗日方程。
也许不少读者始终对公式感到头疼，更不用说是博大精深的理论力学了。但是请相信我，如果你花一点点心思去弄懂用变分法研究力学（或其他物理系统，但我目前只会用于力学）的基本思路和步骤，那么对你的物理研究是大有裨益的。因为在我眼中，学习了一丁点的理论力学知识后，我看到的只有物理的简洁与和谐。有兴趣的朋友可以看看我的那几篇《自然极值》等相关文章。
首先写出动能的表达式：$T=\frac{1}{2} (\dot{r}^2+r^2 \dot{\theta}^2)$
还有势能：$U=-\frac{k \cos\theta}{r^2}$
27
Mar
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