科学空间|Scientific Spaces

我们这学期开设《实变函数》的课程，实变函数的第一章是集合。关于无穷集合的势，有很多异于直觉的结论。这些结论的证明技巧，正是集合论的核心方法。然而，我发现虽然很多结论跟我们的直觉相违背，但是仔细回想，它又没我们想象中那样“离谱”。而我们目前使用的教科书《实变函数论与泛函分析》（曹广福），却没有使用看来简单的证明，反而用一些相对复杂的定理，给人故弄玄虚的感觉。

一、全体实数不能跟全体正整数一一对应

这是集合论中的基本结论之一。证明很简单，如果全体实数可以跟全体正整数一一对应，那么$(0,1)$上的实数就可以跟全体正整数一一对应，把$(0,1)$上的全体实数表示为没有0做循环节的无限小数（比如0.1表示为0.0999...），那么设一种对应为：
$$\begin{aligned}&a_1=0.a_{11} a_{12} a_{13} a_{14}\dots\\
&a_2=0.a_{21} a_{22} a_{23} a_{24}\dots\\
&a_3=0.a_{31} a_{32} a_{33} a_{34}\dots\\
&\dots\dots
\end{aligned}$$

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此文很水，高手略过...

Python以它的开发效率而闻名，优秀的开发效率自然意味着它能够用更少的代码实现更多的功能。那么，对于同一个问题，Python的代码能有多简洁？而我们怎么平衡开发效率和运行效率？笔者学了几个月Python，略懂一点，在此班门弄斧一翻。

在此，我们来编程计算
$$\sum_{n=0}^{10} n^2$$
这当然是一道非常简单的习题。按照一般思路，写出来的最自然的代码就是：

s=0
for i in range(11):
    s = s + i**2

print(s)

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Ramanujan

在正式开始数学之前，我们不妨先说一个关于印度著名数学天才——拉马努金的轶事。拉马努金病重，哈代前往探望。哈代说：“我乘出租车来，车牌号码是1729，这数真没趣，希望不是不祥之兆。”拉马努金答道：“不，那是个有趣得很的数。可以用两个立方之和来表达而且有两种表达方式的数之中，1729是最小的。”（即$1729 = 1^3+12^3 = 9^3+10^3$，后来这类数称为的士数。）利特尔伍德回应这宗轶闻说：“每个整数都是拉马努金的朋友。”（来自维基百科）

从这则轶事中，我们发现，确实存在的某些整数，可以表示为两种不同的立方和，换句话说，不定方程：
$$x^3+y^3=z^3+w^3$$

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集合论的结果告诉我们，全体实数的集合$\mathbb{R}$跟全体无理数的集合$\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$是等势的，那么，如何构造出它们俩之间的一个双射出来呢？这是一个颇考读者想象力的问题。当然，如果把答案给出来，又似乎显得没有那么神秘。下面给出笔者构造的一个例子，读者可以从中看到这种映射是怎么构造的。

为了构造这样的双射，一个很自然的想法是，让全体有理数和部分无理数在它们自身内相互映射，剩下的无理数则恒等映射。构造这样的一个双射首先得找出一个函数，它的值只会是无理数。要找到这样的函数并不难，比如我们知道：

1、方程$x^4 + 1 = y^2$没有除$x=0,y=\pm 1$外的有理点，否则将与费马大定理$n=4$时的结果矛盾。

2、无理数的平方根依然是无理数。

根据这些信息，足以构造一个正实数$\mathbb{R}^+$到正无理数$\mathbb{R}^+ \backslash \mathbb{Q}^+$的双射，然后稍微修改一下，就可以得到$\mathbb{R}$到$\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$的双射。

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模板来自：http://liam0205.me/2013/08/25/LaTeX-xcumcmart/

源网站的某些附件出现了不可访问的情况，因此保险起见，在这里备份一下，也供同样参加数学建模的朋友下载。感谢liam0205的站长制作该模板。

原网站介绍：

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我们在高中甚至初中，都有可能遇到这样的题目：

设$x,y,z$是非负整数，问$x+y+z=2014$有多少组不同的解？（不同顺序视为不同的解）

难度稍高点，可以改为

设$x,y,z$是非负整数，$0\leq x\leq y\leq z$，问$x+y+z=2014$有多少组不同的解？

这些问题都属于整数的分拆问题（广为流传的哥德巴赫猜想也是一个整数分拆问题）。有很多不同的思路可以求解这两道题，然而，个人认为这些方法中最引人入胜的（可能也是最有力的）首推“生成函数法”。

关于生成函数，本节就不多作介绍了，如果缺乏相关基础的朋友，请先阅读相关资料了解该方法。不少数论的、离散数学的、计算机科学的书籍中，都介绍了生成函数法（也叫母函数法）。本质上讲，母函数法能有诸多应用，是因为$x^a\times x^b=x^{a+b}$这一性质的成立。

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假设我是一名中学数学老师，在给学生兴致勃勃地讲“素数”，讲完素数的定义和相关性质后，正当我接着往下讲时，有个捣蛋的学生提问，“老师，你能不能举一个三位数的素数？”。可是我手头上没有1000以内的素数表，我也没记住超过100的素数，那怎么办呢？我只好在黑板上写出几个三位数，比如173、211、463，然后跟学生说“让我们来检验这些数是不是素数”。最终的结果是：它们都是素数！然后会有学生疑问：怎么会这么巧？

素数的概率

首先的问题是，任意写一个三位数，它是素数的概率是多少？三位数的素数共有143个，三位数共有900个，于是概率应该是143/900，大约是六分之一。看起来挺低的，要“蒙中”似乎不容易。

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集合上的一个等价关系决定了几何的一个划分，反之亦然，这直观上是不难理解的。但是，如果我要问一个有$n$个元素的有限集合，共有多少种不同的划分呢？以前感觉这也是一个很简单的问题，就没去细想，但前天抽象代数老师提到这是一个有相当难度的题目，于是研究了一下，发现里面大有文章。这里把我的研究过程简单分享一下，读者可以从中看到如何“从零到有”的过程。

以下假设有$n$个元素的有限集合为$\{1,2,\dots,n\}$，记它的划分数为$B(n)$。

前期：暴力计算

$n=3$的情况不难列出：
$$\begin{aligned}&\{\{1,2,3\}\},\{\{1,2\},\{3\}\},\{\{1,3\},\{2\}\},\\
&\{\{2,3\},\{1\}\},\{\{1\},\{2\},\{3\}\}\end{aligned}$$

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