Mathieu方程
在文章《有质动力:倒立单摆的稳定性》中,我们分析了通过高频低幅振荡来使得倒立单摆稳定的可能性,并且得出了运动方程
$$l\ddot{\theta}+[h_0 \omega^2 \cos(\omega t)-g]\sin\theta=0$$
由此对单摆频率的下限提出了要求$\omega \gg \sqrt{\frac{g}{h_0}}$。然而,那个下限只不过是必要的,却不是充分的。如果要完整地分析该单摆的运动方程,最理想的方法当然是写出上述常微分方程的解析解。不过很遗憾,我们并没有办法做到这一点。我们只能够采取各种近似方法来求解。近似方法一般指数值计算方法,然后笔者偏爱的是解析方法,也就是说,即使是近似解,也希望能够求出近似的解析解。
趣题:与橡皮绳赛跑的蚂蚁
By 苏剑林 | 2014-04-09 | 29542位读者 | 引用用PyPy提高Python脚本执行效率
By 苏剑林 | 2014-06-11 | 22768位读者 | 引用在《两百万前素数之和与前两百万素数之和》中,我们用Python求了前两百万的素数和以及两百万前的素数和,并且得到了在Python 3.3中的执行时间如下:
两百万前的素数之和:
142913828922
time: 2.4048174478605646前两百万的素数之和:
31381137530481
time: 46.75734807838953
于是想办法提高python脚本的执行效率,我觉得在算法方面,优化空间已经比较小了,于是考虑执行器上的优化。在搜索的无意间我看到了一个名词——Psyco!这是python的一个外部模块,导入后可以加快.py脚本的执行。网上也有《用 Psyco 让 Python 运行得像 C一样快》、《利用 psyco 让 Python 程序执行更快》之类的文章,说明Psyco确实是一个可行的选择,于是就跃跃欲试了,后来了解到Psyco在2012年已经停止开发,只支持到Python 2.4版本,目前它由 PyPy所接替。于是我就下载了PyPy。
如何看费曼的讲义和朗道的教程?
By 苏剑林 | 2014-03-25 | 59756位读者 | 引用本文很荣幸得到了高教社的王超编辑(新浪微博 @朗道集结号 )在微信上的推荐,在此表示十分的感谢。
朗道集结号
朗道、费曼、薛定谔、泡利、狄拉克、温伯格……大师在这里等着你,微信号:ldjjhwx
但是,结合自己在阅读他们的著作的感受,以及自己学习科学的过程,谈谈我对他们的著作的看法。
什么才是最简洁的方式?
相信不少读者觉得朗道的教程比费曼的讲义要深,感觉朗道的书总有大量的数学公式,而费曼的书则轻松一些。笔者开始也有这样的感觉,但是慢慢读下去,才感到费曼的书甚至比朗道的困难。
在进入讨论之前,我们不妨先想一下:什么才是理解物理的最简洁方式?数学越复杂,就越不好吗?
一本对称闯物理:相对论力学(二)
By 苏剑林 | 2014-03-25 | 17396位读者 | 引用从这个系列的第一篇文章到本文,已经隔了好多天。其实本文的内容是跟第一篇的内容同时完成的,为什么这么久才更新呢?原因有二,其一是随着春天的到来人也开始懒起来了,颓废呀~;其二,我在思考着规范变换的问题。按照朗道《场论》的逻辑,发展完质点力学理论后,下一步就是发展场论,诸如电磁场、引力场等。但是场论中有个让我比较困惑的东西,即场论存在着“规范不变性”。按照一般观点,我们是将规范不变性看作是电磁场方程的一个结果,即推导出电磁场的方程后,“发现”它具有规范不变性。但是如果用本文的方法,即假定场有这种对称性,然后就可以构建出场方程了。可是,为什么场存在着规范不变性,我还未能思考清楚。据我阅读到的资料来看,这个不变性似乎跟广义不变性有关(电磁场也是,这似乎说明即使在平直时空的电磁场理论中也暗示了广义不变性?)。还有,似乎这个不变性需要在量子场论中才能得到比较满意的解释,可是这样的话,就离我还很远了。
好吧,我们还是先回到相对论力学的推导中。
“无”中生有
上一篇文章我们已经构建了相对论力学的无穷小生成元,并进行了延拓。我已经说过,仅需要无穷小的变换形式,就可以构建出完成的相对论力学定律出来(当然这需要一些比较“显然”的假设)。这是个几乎从“无”到有的过程,也是本文标题的含义所在。另一方面,这种从局部到整体的可能性,也给我们带来一些启示:假如方法是普适的,那么可以由此构造出我们需要的物理定律来,包括电磁场、引力场方程等。(当然,我离这个目标还有点远。)
傅里叶变换:只需要异想天开?
By 苏剑林 | 2014-04-25 | 39662位读者 | 引用在对数学或物理进行事后分析,往往会发现一些奇怪的现象,也有可能得到一些更为深刻有趣的结果。比如本文所要谈及的傅里叶变换,可以由一种“异想天开”的思路得来。
洛朗展式
我们知道,在原点处形态良好的函数,可以展开为泰勒级数
$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n$$
我们发现,上面的幂都是正的,为什么不能包含$x$的负数次幂呢?比如$\frac{\sin z}{z^2}$展开为
$$\frac{1}{z}-\frac{z}{6}+\frac{z^3}{120}\dots$$
显然也是一件合理的事情。于是,结合复变函数,我们得到解析函数的洛朗展式
$$f(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}a_n z^n$$
这是函数的双边展开。其中
当概率遇上复变:随机游走与路径积分
By 苏剑林 | 2014-06-04 | 22509位读者 | 引用我们在上一篇文章中已经看到,随机游走的概率分布是正态的,而在概率论中可以了解到正态分布(几乎)是最重要的一种分布了。随机游走模型和正态分布的应用都很广,我们或许可以思考一个问题,究竟是随机游走造就了正态分布,还是正态分布造就了随机游走?换句话说,哪个更本质些?个人就自己目前所阅读到的内容来看,随机游走更本质些,随机游走正好对应着普遍存在的随机不确定性(比如每次测量的误差),它的分布正好就是正态分布,所以正态分布才应用得如此广泛——因为随机不确定性无处不在。
下面我们来考虑随机游走的另外一种描述方式,原则上来说,它更广泛,更深刻,其大名曰“路径积分”。
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