科学空间|Scientific Spaces

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近段时间在研究解析数论，进一步感觉数论真是个奇妙的东西，通过它，似乎数学的各个方面——离散的和连续的，实数的和复数的，甚至物理的——都联系了起来。由此也不难体会到当初高斯（Gauss）会说“数学是科学的皇后，数论是数学的皇后。”了。今天，由于在研究素数的个数的上下界问题时，需要思考组合数
$$C_{n}^{2n}=\binom{2n}{n}=\frac{(2n)!}{n!\ n!}$$
最多能被2的多少次方整除。直觉告诉我，次数应该是随着$n$的增大而增大的，但事实却不是，比如$C_{15}^{30}$能够被16整除，但是$C_{20}^{40}$却最多只能被4整除，有种毫无规律的感觉，于是到群里问问各大神。其中，wayne提出

这个可以写个小程序算出一些数据，再在oeis上搜搜

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泊松分布，适合于描述单位时间内随机事件发生的次数的概率分布，如某一服务设施在一定时间内受到的服务请求的次数、汽车站台的候客人数等。^{[维基百科]}泊松分布也可以作为小概率的二项分布的近似，其推导过程在一般的概率论教材都会讲到。可是一般教材上给出的证明并不是那么让人赏心悦目，如《概率论与数理统计教程》（第二版，茆诗松等编）的第98页就给出的证明过程。那么，哪个证明过程才更让人点赞呢？我认为是利用母函数的证明。

二项分布的母函数为
$$\begin{equation}(q+px)^n,\quad q=1-p\end{equation}$$

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图片：天文台发射的激光束，版权：Yuri Beletsky&ESO

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本表转自空间天文网，和本站一样，该网站也是“宇宙驿站”的成员之一，欢迎互相支持！

事实上，表中描述的大多数是周期流星雨，因此，除非出现特殊情况，此表都可以作为每年的流星雨预测标准（大致时间）。 点击图片放大

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NASA月球探测器撞击目标——凯布斯(Cabeus )月球坑

(图片说明：凯布斯(Cabeus )月球坑，版权:NMSU/MSFC Tortugas Observatory)

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由于BoJone有着天文和数学的共同爱好，所以近一段时间恋上了天体力学，这是天文的内容，也是数学在天文学大施拳脚的地方。每一步计算，都有可能是一个新的发现，这种感觉太棒了，也许这就是我前进的动力之一。

天体力学最重要、最基本的方法就是解微分方程，其中以常微分方程为主，而且更多的是常微分方程组。这对BoJone来说是一个极大的挑战，因为正在读高一的BoJone一切都得自学，这得以微积分、级数、解析几何等数学知识为基础，而且必须做到融会贯通，要把它当成手中的橡皮泥，随意捏弄，形变而质不变。不过幸好能够有轻松自由的学习环境，我相信，我可以！

前些天在淘宝上一位天爱把他收藏的旧书都出了，里面有一本《天体力学引论》和《天体力学教程》，这正是作者苦苦搜寻的天体力学教程呀！其实即便是大学用的天体力学书籍，也是80年代左右的书，这些书很少有更新，所以现在几乎没有出售的，一般有钱也买不到（让我捡了一个大便宜^_^）。店主链接

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The Astroncial Events Of 2010

1月1日月偏食，2：51初亏，3：23食甚，3：54复圆。食分0.082。
1月3日 火星合月
1月4日 象限仪流星雨极大
1月5日 水星下合日
1月6日 16时土星合月
1月12日 金星上合日
1月15日 日环食，我国各地从15时-15时30分初亏，云南，四川，重庆，湖北，河南，山东的部分地区可见环食。1时土星留，变为逆行。
1月16日 水星留，变为顺行。金星合月。
1月25日 19时月掩昴星团
1月27日 水星西大距
1月29日 19时42分火星冲日。-1.32等
1月30日 9时火星合月

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自从了解了费曼积分法之后，我就一直想着用费曼积分法来求高斯积分$\int_0^{\infty} e^{-x^2}dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$这个神奇的积分，但一直无果。在《数学桥》里边，作者是通过将其转变为二重积分来解决的，简洁而巧妙。但是为了显示费曼积分法的威力，我一直想找到高斯积分的其他求法。上星期在《数学物理方法》中看到作者用拉普拉斯变换求出了该积分，眼睛不禁为之一亮，不过这属于积分变换内容，属于“积分符号内取积分”的技巧，在此不作讨论。今天在网上查找资料时，在“赵洁”的一篇论文《含参变量积分》中，看到了一种属于费曼积分法范畴内的方法，特与大家分享。

从“事后分析”来看，高斯积分的结果涉及到了$\sqrt{\pi}$这个量，一般来说我们常见的公式出现$\pi$的不少，可是几乎没有出现$\sqrt{\pi}$的，所以一般来说我们都将它平方。我们引入
$$f(x)=(\int_0^x e^{-t^2}dt)^2$$

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