从费马大定理谈起(二):勾股数
By 苏剑林 | 2014-08-15 | 30217位读者 | 引用素数之美2:Bertrand假设的证明
By 苏剑林 | 2014-08-09 | 24297位读者 | 引用有了上一篇文章的∏p≤np<4n−1的基础,我们其实已经很接近Bertrand假设的证明了。Bertrand假设的证明基于对二项式系数C2nn的素因子次数的细致考察,而在本篇文章中,我们先得到一个关于素数之积的下限公式,然后由此证明一个比Bertrand假设稍微弱一点的假设。最后,则通过一个简单的技巧,将我们的证明推动至Bertrand假设。
二项式系数的素因子
首先,我们考察n!中的素因子p的次数,结果是被称为Legendre定理的公式:
n中素因子p的次数恰好为∑k≥1⌊npk⌋。
证明很简单,因为n!=1×2×3×4×⋯×n,每隔p就有一个p的倍数,每隔p2就有一个p2的倍数,每隔p3就有一个p3的倍数,每增加一次幂,将多贡献一个p因子,所以把每个间隔数叠加即可。注意该和虽然写成无穷形式,但是非零项是有限的。
从费马大定理谈起(六):n=4(2)
By 苏剑林 | 2014-08-19 | 28727位读者 | 引用在上一篇文章中,笔者提到似乎证明n=4时必须要证明x4+y4=z2无解而不能只证明x4+y4=z4无解。不过,在今天中午研究的时候,笔者发现了另外一个n=4的证明,它同样是在Z[i]中,但是,证明的则是指数全是4的形式,但是,又不单单是x4+y4=z4的形式,而是εx4+y4=z4,ε是单位数。这个证明过程,我觉得应该更接近n等于其他奇素数时的证明,遂补充了这篇文章,供大家参考。读者可以对比着上一篇文章进行比较阅读。
引理
用ε1,ε2,ε3,ε表示Z[i]中的单位数,下面先证明
如果方程ε1x′4+ε2y′4+ε3z′4=0在Z[i]中有全不为0的解,那么在经过适当的化简和整理之后,方程必有形式εx4+y4=z4,其中(x,y,z)是(x′,y′,z′)的某个置换,ξ2|x。
从费马大定理谈起(八):艾森斯坦整数
By 苏剑林 | 2014-08-30 | 44957位读者 | 引用是时候向n=3进军了,为了证明这个情况,我们需要一个新的数环:艾森斯坦整数(Eisenstein Integer)。艾森斯坦是德国著名数学家,同时代的高斯曾经评价:“只有三个划时代的数学家:阿基米德,牛顿和艾森斯坦。”足见艾森斯坦的成就斐然。事实上,阅读费马大定理的研究史,同时也是在阅读数学名人录——没有超高的数学,几乎不可能在费马大定理中有所建树。
基本定义
跟高斯整数一样,艾森斯坦整数也是复整数的一种,其中,高斯整数是以1和i为基,i其实是一个四次单位根,也就是x4−1=0的一个非实数根,因此高斯整数也叫做四次分圆整数;而艾森斯坦整数以1和ω为基,ω是三次单位根,也就是x3−1=0的一个非实数根。任意一个艾森斯坦整数都可以记为a+bω,a,b∈Z,艾森斯坦整数环记为Z[ω],也称为三次分圆整数环。
Cantor-Bernstein 定理(给出双射!)
By 苏剑林 | 2014-09-19 | 52621位读者 | 引用在数学分析的级数理论中,有一类常见的题目,其中涉及到
cosθ+cos2θ+⋯+cosnθ
和
sinθ+sin2θ+⋯+sinnθ
之类的正弦或者余弦级数的求和,主要是证明该和式有界。而为了证明这一点,通常是把和式的通项求出来。当然,该级数在物理中也有重要作用,它表示n个相同振子的合振幅。在我们的数学分析教材中,通常是将级数乘上一项sinθ2,然后利用积化和差公式完成。诚然,如果仅限在实数范围内考虑,这有可能是唯一的推导技巧的。但是这样推导的运算过程本身不简单,而且也不利于记忆,在大二的时候我就为此感到很痛苦。前几天在看费曼的书的时候,想到了一种利用复数的推导技巧。很奇怪,这个技巧是如此简单——写出来显得这篇文章都有点水了——可是我以前居然一直没留意到!看来功力尚浅,需多多修炼呀。
有趣的求极限题:随心所欲的放缩
By 苏剑林 | 2015-03-28 | 47991位读者 | 引用昨天一好友问我以下题目,求证:
lim
将解答过程简单记录一下。
求解
首先可以注意到,当n充分大时,
\frac{1^n + 2^n +\dots + n^n}{n^n}=\left(\frac{1}{n}\right)^n+\left(\frac{2}{n}\right)^n+\dots+\left(\frac{n}{n}\right)^n
的主要项都集中在最后面那几项,因此,可以把它倒过来计算
\begin{aligned}\frac{1^n + 2^n +\dots + n^n}{n^n}=&\left(\frac{1}{n}\right)^n+\left(\frac{2}{n}\right)^n+\dots+\left(\frac{n}{n}\right)^n\\
=&\left(\frac{n}{n}\right)^n+\dots+\left(\frac{2}{n}\right)^n+\left(\frac{1}{n}\right)^n\end{aligned}
海伦公式的一个别致的物理推导
By 苏剑林 | 2015-03-27 | 55297位读者 | 引用海伦公式是已知三角形三边的长度a,b,c来求面积S的公式,是一个相当漂亮的公式,它不算复杂,同时它关于a,b,c是对称的,充分体现了三边的同等地位。可是,这样具有对称美的公式推导,往往要经过一个不对称的过程,比如维基百科上的证明,这未免有点美中不足。本文的目的,就是想为此补充一个对称的推导。本文题目为“物理推导”,关键在于“推导”而不是“证明”,同时这里的“物理”并非是通过物理类比而来,而是推导的思想和方法很具有“物理味道”。
\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}
在推导开始之前,笔者给出一个评论:海伦公式似乎是由三边长求三角形面积的所有可能的公式之中最简单的一个。
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