12
Sep
数学竞赛广东预赛|组成三角形的概率
By 苏剑林 | 2011-09-12 | 56765位读者 | 引用九月三日BoJone和九个同学到云浮参加了今年广东省的数学竞赛预赛，那一起出发、玩笑、作战、吃饭的情景依然历历在目，让我久久不能忘怀。是呀，能够并肩作战的感觉真好！九日数学成绩出来了，遗憾的是今年政策改变了，我被告知整个市只有三个名额能够参加复赛，于是新兴只有我一个人进入了复赛（另外两个据说是罗定的，我们三个并列第一）。有点无语，我想，大概是要把那些为了功利而参赛的人都给刷下去吧...
今年广东的预赛题前所未有的简单，不论是和全国其他地方相比还是和上一年的题目相比，都简单了不少，但我还是做得不大理想，据我估计，120分的卷子我顶多能够拿个68分，所以BoJone的基本技能实在不容乐观。从云浮考试回来后，和同行的同学讨论试题，得出了一些很有趣的结果，那过程可谓其乐无穷呀！下面是倒数第二题预赛题的几个绝妙解法，供大家欣赏。解法由我和伍泽麒（人称“兔子、神兔”，人如其名，天资聪颖，性格可爱）完成。
题目：
在一条线段中随意选取两个点，把这条线段截成三段，求这三段线段能够组成一个三角形的概率。
18
Nov
[欧拉数学]黎曼ζ函数
By 苏剑林 | 2011-11-18 | 50142位读者 | 引用欧拉数学的魅力在于，它运用类比的方法，把各个看似毫无关联的领域联系了起来，生动而巧妙地得出了正确的结果。他对$\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...=\frac{\pi^2}{6}$的计算便是一个典型的例子。虽然论证过程未必严谨，但是那“神奇”的推导已经令我们拍案叫绝，而且往往发人深思。这种效果通常是严格论证难以实现的，它不仅给予我们答案，而且还给予了我们启迪：新的思想，新的方向；有时，它还揭示了各个学科之间内在而深刻的联系。下面我们来观察一下数论中的“黎曼ζ函数”和“金钥匙”！
黎曼ζ函数指的是：
$$\xi (s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}=\frac{1}{1^s}+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{4^s}+...$$
本来s应该是一个实数，但是将复分析引入数论后，将s推广至复数具有更大的研究价值。
19
Nov
[欧拉数学]素数倒数之和
By 苏剑林 | 2011-11-19 | 37765位读者 | 引用上一篇文章我通过欧拉数学的方式简单地讲了数论中的“黎曼ζ函数”和“金钥匙”。事实上，这把“金钥匙”与很多问题之间的联系已经被建立了起来，换句话说，“金钥匙”已经插入到了相应的“锁孔”中，数学家的工作就是要把这个金钥匙“拧动”，继而打开数学之门！
接下来我们看看如何证明所有素数的倒数之和发散的。在入正题之前，我们得需要看一个引理：
无限数列${a_n}$的每一项都大于0，那么$\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$与$\prod\limits_{n=1}^{\infty} \left(1+a_n\right)$的敛散性相同。换句话说，两者互为充分必要条件！
19
Nov
[欧拉数学]素数定理及加强
By 苏剑林 | 2011-11-19 | 43096位读者 | 引用1798年法国数学家勒让德提出：
$$\pi(n)\sim\frac{n}{\ln n}$$
这个式子被成为“素数定理”(the Prime Number Theorem, PNT)。它表达的是什么意思呢？其中$\pi(N)$指的是不大于N的素数个数，$\frac{N}{\ln N}$是一个计算结果，符号~叫做“渐近趋于”，整个式子意思就是“不大于N的素数个数渐近趋于$\frac{N}{\ln N}$”；简单来讲，就是说$\frac{N}{\ln N}$是$\pi(N)$的一个近似估计。也许有的读者会问为什么不用≈而用~呢？事实上，~包含的意思还有：
$$\lim_{N-\infty} \frac{\pi(N) \ln N}{N}=1$$
昨晚上演了一场精彩的月全食。
在广东，晴天的代价果然是寒冷。我们这里从星期一开始就很闷热，天空很多云；前天开始转冷，我就想有好戏看了。果不其然，昨天晚上出现了难得的晴天，大家都看到了一场精彩的月全食——全班、甚至全校都出动了，晚自习都不上了！
我喜欢这样精彩的天象，我更喜欢这样的氛围：全场出动，围观盛会！在这过程中，拿着小双筒、小单筒，对着月光，对着星星，慢慢地看着月亮缺块、变暗，感觉多美，仿佛仙境。我们班的“兔子”都说要在全盛时刻“奔月找嫦娥”，哈哈。
虽然很冷，但是大家的热情很高（遗憾的是忘记拍几张照片了）。我们谈到了下一次的月食、日食，我们相约在高考前夕——5月21日和6月6日——共赏日环食和金星凌日。哇！太棒了！
^_^
谨此留念。
13
Jan
混沌的世界——“星之轨迹”的研究
By 苏剑林 | 2012-01-13 | 38407位读者 | 引用（本文已被刊登在2012年1月的《天文爱好者》上，于笔者而言这是一份很棒的新年礼物！）
在去年第七期《天爱》上，我们看到了N体问题所呈现出来的一些对称、漂亮的周期轨道，这体现了N体问题和谐有序的一面。但是这仅仅是N体问题的冰山一角，笔者也提到过N体问题的本质是混沌、无序的，通俗来讲就是非常乱，无法用数学方程来精确描述。这看起来是一种不完美。但试想，探索当初伽利略将望远镜对准月球后，看到的是如想象中光滑的月面，那么他还会惊叹宇宙的神奇吗？
本文就让我们来更深入地了解一下N体问题的研究历史。
观测&拟合时代
由于人类的自我优越感以及日月星辰东升西落的经验，让我们长期都认为地球是宇宙的中心。第一个比较系统提出地心说的人当属天文学家欧多克斯（Eudoxus，死于公元前347年左右），但他的地心说是非常粗糙的，以至于无法解释很多基本现象，如无法准确预言日食和解释行星逆行等。但亚里士多德接受了地心说，并且由于他在政治和科学上的权威，使地心说免去了夭折的命运。后来托勒密通过他的本轮，完善了地心说，使之延续到了16世纪。
21
Jan
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