科学空间|Scientific Spaces

————怀念我曾经参加过的小学数学竞赛。

从一道小学竞赛题谈起

笔者小学五年级时参加了第一次数学竞赛，叫“育苗杯”，大多数题目都记不清楚了，唯一记得很清楚的是如下这道题目（不完全相同，意思类似）：

假设汽水一块钱一瓶，而且4个空瓶子可以换一瓶汽水喝。如果我有30块钱，我最多可以喝到多少瓶汽水？

来瓶汽水吧

当然，这道题并不困难，30块钱能买30瓶汽水，然后留下30个空瓶子，这30个空瓶子可以换来7瓶汽水，剩下2个空瓶子；喝完汽水后，剩下9个空瓶子，可以换来2瓶汽水，剩下1个空瓶子；喝完汽水后，剩下3个空瓶子。算算看，这时候我们已经喝了30+7+2=39瓶汽水了。（不考虑撑着啊，也可以分给别人喝^_^）整个过程如下表：
$$\begin{array}{c|cccc}
\hline
\text{空瓶子数} & 30 & 2+7 & 1+2 & ? \\
\hline
\text{已喝汽水数} & 30 & 7 & 2 & ? \\
\hline \end{array}$$

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Python数据分析与挖掘实战

暑假的时候，应泰迪公司之约，我为他们的书《MATLAB数据挖掘与挖掘实战》编写了姊妹版：《Python数据挖掘与挖掘实战》（还有一个姊妹版是R语言的），主要的工作内容就是编写Python的介绍，以及把书上的MATLAB代码翻译为Python版本的。我欣然接受了，一来可以兼职赚点零花钱，二来可以系统地训练一下自身的Python编程，再则，还可以体验一次MATLAB、R、Python的大PK。现在书本已经正式发行，亚马逊、当当、京东、淘宝都可以找到，我也很荣幸被列为作者之一，于是这便算是我出版的第一本书了。

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说在前面

美食（图片来源于互联网）

在空间侧边栏的笔者的自我介绍中，有一行是“厨房爱好者”，虽然笔者不怎么会做菜，但确实，厨房是我的一个爱好。当然，笔者的爱好很多，数学、物理、天文、计算机等，都喜欢，都想学，弄到多而不精。在之前的文章中也已经提到过，数据挖掘也是我的一个爱好，而当数据挖掘跟厨房这两个爱好相遇了，会有什么有趣的结果吗？

笔者正是做了这样一个事情：从美食中国的家常菜目录下面，写了个简单的爬虫，抓取了一批菜谱数据下来，进行简单的数据分析。（在此对美食中国表示衷心感谢。选择美食中国的原因是它的数据比较规范。）数据分析在我目前公司的高性能服务器做，分析起来特别舒服～～

这里共收集了18209个菜谱，共包含了9700种食材（包括主料、辅料、调料，部分可能由于命名不规范等原因会重复）。当然，这个数据量相对于很多领域的大数据标准来说，实在不值一提。但是在大数据极少涉及的厨房，应该算是比较多的了。

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斯特灵近似，或者称斯特灵公式，最开始是作为阶乘的近似提出
$$n!\sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n$$
符号$\sim$意味着
$$\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n}{n!}=1$$
将斯特灵公式进一步提高精度，就得到所谓的斯特灵级数
$$n!=\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n\left(1+\frac{1}{12n}+\frac{1}{288n^2}\dots\right)$$
很遗憾，这个是渐近级数。

相关资料有：
https://zh.wikipedia.org/zh-cn/斯特灵公式

https://en.wikipedia.org/wiki/Stirling%27s_approximation

本文将会谈到斯特灵公式及其渐近级数的一个改进的推导，并解释渐近级数为什么渐近。

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上一篇博文的发布时间是4月15日，到今天刚好一个月没更新了，但是科学空间的访问量还在。感谢大家对本空间的支持，BoJone对久未更新表示非常抱歉。在恢复更新之前，请允许笔者记记流水账。

在“消失”的一个月中，笔者主要的事情是毕业论文和数据挖掘竞赛。首先毕业论文方面，论文于4月22日交稿，4月29日答辩，答辩完后就意味着毕业论文的事情结束了。我的毕业论文主要写了路径积分在描述随机游走、偏微分方程、随机微分方程的应用。既然是本科论文，就不能说得太晦涩，因此论文整体来看还是比较易读的，可以作为路径积分的入门教程。后面我会略加修改，分开几部分发布在科学空间中的，到时请大家批评指正。

说到路径积分，不得不说到做《量子力学与路径积分》的习题解答这件事情了。很遗憾，这一个多月来，基本没有时间做习题。不过后面我会继续做下去的，已发布的版本，也请有兴趣的读者指出问题。记得年初的时候，朋友问我今年的愿望是什么，我随意地回答了“希望做完一本书的习题”，这本书，当然就是《量子力学与路径积分》了，我相信今年应该能够完成的。

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写在前面：前面的博文已经提过，在上个月我参加了第四届泰迪杯数据挖掘竞赛，做的是A题，跟OCR系统有些联系，还承诺过会把最终的结果开源。最近忙于毕业、搬东西，一直没空整理这些内容，现在抽空整理一下。

把结果发出来，并不是因为结果有多厉害、多先进（相反，当我对比了百度的这篇论文《基于深度学习的图像识别进展：百度的若干实践》之后，才发现论文的内容本质上还是传统那一套，远远还跟不上时代的潮流），而是因为虽然OCR技术可以说比较成熟了，但网络上根本就没有对OCR系统进行较为详细讲解的文章，而本文就权当补充这部分内容吧。我一直认为，技术应该要开源才能得到发展（当然，在中国这一点也确实值得商榷，因为开源很容易造成山寨），不管是数学物理研究还是数据挖掘，我大多数都会发表到博客中，与大家交流。

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由于图像质量等原因，性能再好的识别模型，都会有识别错误的可能性，为了减少识别错误率，可以将识别问题跟统计语言模型结合起来，通过动态规划的方法给出最优的识别结果.这是改进OCR识别效果的重要方法之一.

转移概率

在我们分析实验结果的过程中，有出现这一案例.由于图像不清晰等可能的原因，导致“电视”一词被识别为“电柳”，仅用图像模型是不能很好地解决这个问题的，因为从图像模型来看，识别为“电柳”是最优的选择.但是语言模型却可以很巧妙地解决这个问题.原因很简单，基于大量的文本数据我们可以统计“电视”一词和“电柳”一词的概率，可以发现“电视”一词的概率远远大于“电柳”，因此我们会认为这个词是“电视”而不是“电柳”.

从概率的角度来看，就是对于第一个字的区域的识别结果$s_1$，我们前面的卷积神经网络给出了“电”、“宙”两个候选字(仅仅选了前两个，后面的概率太小)，每个候选字的概率$W(s_1)$分别为0.99996、0.00004；第二个字的区域的识别结果$s_2$，我们前面的卷积神经网络给出了“柳”、“视”、“规”(仅仅选了前三个，后面的概率太小)，每个候选字的概率$W(s_2)$分别为0.87838、0.12148、0.00012，因此，它们事实上有六种组合：“电柳”、“电视”、“电规”、“宙柳”、“宙视”、“宙规”.

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数据验证

尽管在测试环境下模型工作良好，但是实践是检验真理的唯一标准. 在本节中，我们通过自己的模型，与京东的测试数据进行比较验证.

衡量OCR系统的好坏有两部分内容：(1)是否成功地圈出了文字；(2)对于圈出来的文字，有没有成功识别. 我们采用评分的方法，对每一张图片的识别效果进行评分. 评分规则如下：

如果圈出的文字区域能够跟京东提供的检测样本的box文件中匹配，那么加1分，如果正确识别出文字来，另外加1分，最后每张图片的分数是前面总分除以文字总数.

按照这个规则，每张图片的评分最多是2分，最少是0分. 如果评分超过1，说明识别效果比较好了. 经过京东的测试数据比较，我们的模型平均评分大约是0.84，效果差强人意。

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