科学空间|Scientific Spaces

这一周科学空间时断时续的，原因是原来的服务器两个内存条坏了，内存不够用。

后来天文台决定给我们换一台服务器，这两天主要在转移数据，从而不能访问。

目前，基本上已经转移好了，服务器升级工作基本完成。新服务器的升级，CPU从原来的8核升级为48核，内存从16GB升级为64GB。再次感谢国家天文台宇宙驿站给予我们的服务^_^感谢各位技术人员的努力，让我们一起把中文科普事业做得更好~

为了形象地展示为什么有些系统需要旋转720度而不是360度才能恢复原状，费曼想到了一个“茶杯法”。看了“茶杯法”的步骤之后，我突然想起了电影《太极1》的梁小龙的一个端药镜头，正好对应着费曼的“茶杯法”，遂把镜头剪了出来，供大家欣赏。

请仔细观察梁小龙的手转了多少圈？

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在学车的时候，我堂大哥曾问我一道作圆的问题：

三圆的外切圆和内切圆 (1)

平面上给出三个两两相切的圆以及它们的圆心，求作一个圆与这三个圆都相切（尺规作图）。

如果从纯几何的途径入手，我们甚至很难判断这样的圆是否存在。但是我之前似乎已经看过类似的题目，于是很快想到一个名词：反演。反演可以将圆反演成直线（圆过反演点），也可以将圆反演成圆（圆不过反演点），而其他的相切、相交等关系保持不变。对反演后的图形进行相同的反演，就变回原来的图形。本题的难点在于圆太多，利用反演，我们可以将它变为两条直线和一个圆的问题。

假设读者已经有了反演的基本知识，如果没有，请到
http://zh.wikipedia.org/wiki/反演

阅读相关内容。

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文章《三个相切圆的公切圆》中，笔者讲到利用反演作三个相切圆的公切圆，那时要求三个圆要两两相切。后来思考了一下，发现不用这个条件，只要三个之中的一个圆与另外两个圆都相切即可。

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含有$n$个一阶常微分方程的一阶常微分方程组
$$\dot{\boldsymbol{x}}=\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}$$
其中$\boldsymbol{x}=(x_1(t),\dots,x_n(t))^{T}$为待求函数，而$\boldsymbol{A}=(a_{ij}(t))_{n\times n}$为已知的函数矩阵。现在已知该方程组的$n-1$个线性无关的特解$\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\dots,\boldsymbol{x}_{n-1}$（解的列向量），求方程的通解。

这是我的一位同学在6月5号问我的一道题目，我当时看了一下，感觉可以通过李对称的方法很容易把解构造出来，当晚就简单分析了一下，发现根据李对称的思想，由上面已知的信息确实足以把通解构造出来。但是我尝试了好几天，尝试了几何、代数等思想，都没有很好地构造出相应的正则变量出来，从而也没有写出它的显式解，于是就搁置下来了。今天再分析这道题目时，竟在无意之间构造出了让我比较满意的解来~

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一般来说，如果原函数容易找到的话，牛顿-莱布尼兹公式是定积分的通用方法。但是牛顿-莱布尼兹公式只适合连续函数的积分，如果积分区间含有奇点，那就不成立了。比如，我们考虑积分
$$\int_{-1}^1 \frac{1}{x^2}dx$$
当然，从严格的数学上来说，这种写法是不成立的，因为被积函数在原点没有意义。当然，从物理的角度来考虑，由于对称性，我们确信
$$\int_{-1}^1 \frac{1}{x^2}dx=2\int_{0}^1 \frac{1}{x^2}dx=\lim_{\varepsilon\to 0}2\int_{\varepsilon}^1 \frac{1}{x^2}dx$$
从而得出积分发散的结论。这种处理某种程度上是可以接受的，但是却不是让人满意的，因为它导致了分段。有什么办法可以直接处理这种情况呢？确实有的，同样引入参数，并且最终让参数为0，考虑带参数的积分
$$\int_{-1}^1 \frac{1}{x^2+\varepsilon^2}dx$$
只要参数为正，这个被积函数就在$\mathbb{R}$上处处连续了，也就是奇点消失了，这样子就可以用牛顿-莱布尼兹公式了
$$\int_{-1}^1 \frac{1}{x^2+\varepsilon^2}dx=\left.\frac{1}{\varepsilon}\arctan\left(\frac{x}{\varepsilon}\right)\right|_{-1}^{1}$$
考虑$\varepsilon\to 0$的情况，就自动得到了积分发散的结论。

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开水白菜 (1)

如果要用做菜来比喻人生的话，我觉得，人生最高的境界之一便是开水白菜。

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Mathieu方程

在文章《有质动力：倒立单摆的稳定性》中，我们分析了通过高频低幅振荡来使得倒立单摆稳定的可能性，并且得出了运动方程
$$l\ddot{\theta}+[h_0 \omega^2 \cos(\omega t)-g]\sin\theta=0$$

由此对单摆频率的下限提出了要求$\omega \gg \sqrt{\frac{g}{h_0}}$。然而，那个下限只不过是必要的，却不是充分的。如果要完整地分析该单摆的运动方程，最理想的方法当然是写出上述常微分方程的解析解。不过很遗憾，我们并没有办法做到这一点。我们只能够采取各种近似方法来求解。近似方法一般指数值计算方法，然后笔者偏爱的是解析方法，也就是说，即使是近似解，也希望能够求出近似的解析解。

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