科学空间|Scientific Spaces

大家最近应该多多少少都被各种MLP相关的工作“席卷眼球”了。以Google为主的多个研究机构“奇招频出”，试图从多个维度“打击”Transformer模型，其中势头最猛的就是号称是纯MLP的一系列模型了，让人似乎有种“MLP is all you need”时代到来的感觉。

这一顿顿让人眼花缭乱的操作背后，究竟是大道至简下的“返璞归真”，还是江郎才尽后的“冷饭重炒”？让我们也来跟着这股热潮，一起盘点一些最近的相关工作。

五月人倍忙

怪事天天有，五月特别多。这个月以来，各大机构似乎相约好了一样，各种非Transformer的工作纷纷亮相，仿佛“忽如一夜春风来，千树万树梨花开”。单就笔者在Arxiv上刷到的相关论文，就已经多达七篇（一个月还没过完，七篇方向极其一致的论文），涵盖了NLP和CV等多个任务，真的让人应接不暇：

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自SimCLR在视觉无监督学习大放异彩以来，对比学习逐渐在CV乃至NLP中流行了起来，相关研究和工作越来越多。标准的对比学习的一个广为人知的缺点是需要比较大的batch_size（SimCLR在batch_size=4096时效果最佳），小batch_size的时候效果会明显降低，为此，后续工作的改进方向之一就是降低对大batch_size的依赖。那么，一个很自然的问题是：标准的对比学习在小batch_size时效果差的原因究竟是什么呢？

近日，一篇名为《Simpler, Faster, Stronger: Breaking The log-K Curse On Contrastive Learners With FlatNCE》对此问题作出了回答：因为浮点误差。看起来真的很让人难以置信，但论文的分析确实颇有道理，并且所提出的改进FlatNCE确实也工作得更好，让人不得不信服。

细微之处

接下来，笔者将按照自己的理解和记号来介绍原论文的主要内容。对比学习（Contrastive Learning）就不帮大家详细复习了，大体上来说，对于某个样本$x$，我们需要构建$K$个配对样本$y_1,y_2,\cdots,y_K$，其中$y_t$是正样本而其余都是负样本，然后分别给每个样本对$(x, y_i)$打分，分别记为$s_1,s_2,\cdots,s_K$，对比学习希望拉大正负样本对的得分差，通常直接用交叉熵作为损失：
\begin{equation}-\log \frac{e^{s_t}}{\sum\limits_i e^{s_i}} = \log \left(\sum_i e^{s_i}\right) - s_t = \log \left(1 + \sum_{i\neq t} e^{s_i - s_t}\right)\end{equation}

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在本系列的前面几篇文章中，我们已经从多个角度来理解了VAE，一般来说，用VAE是为了得到一个生成模型，或者是做更好的编码模型，这都是VAE的常规用途。但除了这些常规应用外，还有一些“小众需求”，比如用来估计$x$的概率密度，这在做压缩的时候通常会用到。

本文就从估计概率密度的角度来了解和推导一下VAE模型。

两个问题

所谓估计概率密度，就是在已知样本$x_1,x_2,\cdots,x_N\sim \tilde{p}(x)$的情况下，用一个待定的概率密度簇$q_{\theta}(x)$去拟合这批样本，拟合的目标一般是最小化负对数似然：
\begin{equation}\mathbb{E}_{x\sim \tilde{p}(x)}[-\log q_{\theta}(x)] = -\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N \log q_{\theta}(x_i)\label{eq:mle}\end{equation}

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能提升模型性能的方法有很多，多任务学习（Multi-Task Learning）也是其中一种。简单来说，多任务学习是希望将多个相关的任务共同训练，希望不同任务之间能够相互补充和促进，从而获得单任务上更好的效果（准确率、鲁棒性等）。然而，多任务学习并不是所有任务堆起来就能生效那么简单，如何平衡每个任务的训练，使得各个任务都尽量获得有益的提升，依然是值得研究的课题。

最近，笔者机缘巧合之下，也进行了一些多任务学习的尝试，借机也学习了相关内容，在此挑部分结果与大家交流和讨论。

加权求和

从损失函数的层面看，多任务学习就是有多个损失函数$\mathcal{L}_1,\mathcal{L}_2,\cdots,\mathcal{L}_n$，一般情况下它们有大量的共享参数、少量的独立参数，而我们的目标是让每个损失函数都尽可能地小。为此，我们引入权重$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\geq 0$，通过加权求和的方式将它转化为如下损失函数的单任务学习
\begin{equation}\mathcal{L} = \sum_{i=1}^n \alpha_i \mathcal{L}_i\label{eq:w-loss}\end{equation}
在这个视角下，多任务学习的主要难点就是如何确定各个$\alpha_i$了。

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在文章《生成扩散模型漫谈（一）：DDPM = 拆楼 + 建楼》中，我们为生成扩散模型DDPM构建了“拆楼-建楼”的通俗类比，并且借助该类比完整地推导了生成扩散模型DDPM的理论形式。在该文章中，我们还指出DDPM本质上已经不是传统的扩散模型了，它更多的是一个变分自编码器VAE，实际上DDPM的原论文中也是将它按照VAE的思路进行推导的。

所以，本文就从VAE的角度来重新介绍一版DDPM，同时分享一下自己的Keras实现代码和实践经验。

Github地址：https://github.com/bojone/Keras-DDPM

多步突破

在传统的VAE中，编码过程和生成过程都是一步到位的：
\begin{equation}\text{编码:}\,\,x\to z\,,\quad \text{生成:}\,\,z\to x\end{equation}

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前面的几篇文章都是比较偏理论的结果，这篇文章我们来讨论一个比较有实用价值的主题——条件控制生成。

作为生成模型，扩散模型跟VAE、GAN、flow等模型的发展史很相似，都是先出来了无条件生成，然后有条件生成就紧接而来。无条件生成往往是为了探索效果上限，而有条件生成则更多是应用层面的内容，因为它可以实现根据我们的意愿来控制输出结果。从DDPM至今，已经出来了很多条件扩散模型的工作，甚至可以说真正带火了扩散模型的就是条件扩散模型，比如脍炙人口的文生图模型DALL·E 2、Imagen。

在这篇文章中，我们对条件扩散模型的理论基础做个简单的学习和总结。

技术分析

从方法上来看，条件控制生成的方式分两种：事后修改（Classifier-Guidance）和事前训练（Classifier-Free）。

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对于很多读者来说，生成扩散模型可能是他们遇到的第一个能够将如此多的数学工具用到深度学习上的模型。在这个系列文章中，我们已经展示了扩散模型与数学分析、概率统计、常微分方程、随机微分方程乃至偏微分方程等内容的深刻联系，可以说，即便是做数学物理方程的纯理论研究的同学，大概率也可以在扩散模型中找到自己的用武之地。

在这篇文章中，我们再介绍一个同样与数学物理有深刻联系的扩散模型——由“万有引力定律”启发的ODE式扩散模型，出自论文《Poisson Flow Generative Models》（简称PFGM），它给出了一个构建ODE式扩散模型的全新视角。

万有引力

中学时期我们就学过万有引力定律，大概的描述方式是：

两个质点彼此之间相互吸引的作用力，是与它们的质量乘积成正比，并与它们之间的距离成平方反比。

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老读者也许会发现，相比之前的更新频率，这篇文章可谓是“姗姗来迟”，因为这篇文章“想得太多”了。

通过前面九篇文章，我们已经对生成扩散模型做了一个相对全面的介绍。虽然理论内容很多，但我们可以发现，前面介绍的扩散模型处理的都是连续型对象，并且都是基于正态噪声来构建前向过程。而“想得太多”的本文，则希望能够构建一个能突破以上限制的扩散模型统一框架（Unified Diffusion Model，UDM）：

1、不限对象类型（可以是连续型$\boldsymbol{x}$，也可以是离散型的$\boldsymbol{x}$）；

2、不限前向过程（可以用加噪、模糊、遮掩、删减等各种变换构建前向过程）；

3、不限时间类型（可以是离散型的$t$，也可以是连续型的$t$）；

4、包含已有结果（可以推出前面的DDPM、DDIM、SDE、ODE等结果）。

这是不是太过“异想天开”了？有没有那么理想的框架？本文就来尝试一下。

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