科学空间|Scientific Spaces

上一篇文章《当Batch Size增大时，学习率该如何随之变化？》我们从多个角度讨论了学习率与Batch Size之间的缩放规律，其中对于Adam优化器我们采用了SignSGD近似，这是分析Adam优化器常用的手段。那么一个很自然的问题就是：用SignSGD来近似Adam究竟有多科学呢？

我们知道，Adam优化器的更新量分母会带有一个$\epsilon$，初衷是预防除零错误，所以其值通常很接近于零，以至于我们做理论分析的时候通常选择忽略掉它。然而，当前LLM的训练尤其是低精度训练，我们往往会选择偏大的$\epsilon$，这导致在训练的中、后期$\epsilon$往往已经超过梯度平方大小，所以$\epsilon$的存在事实上已经不可忽略。

因此，这篇文章我们试图探索$\epsilon$如何影响Adam的学习率与Batch Size的Scaling Law，为相关问题提供一个参考的计算方案。

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随着算力的飞速进步，有越多越多的场景希望能够实现“算力换时间”，即通过堆砌算力来缩短模型训练时间。理想情况下，我们希望投入$n$倍的算力，那么达到同样效果的时间则缩短为$1/n$，此时总的算力成本是一致的。这个“希望”看上去很合理和自然，但实际上并不平凡，即便我们不考虑通信之类的瓶颈，当算力超过一定规模或者模型小于一定规模时，增加算力往往只能增大Batch Size。然而，增大Batch Size一定可以缩短训练时间并保持效果不变吗？

这就是接下来我们要讨论的话题：当Batch Size增大时，各种超参数尤其是学习率该如何调整，才能保持原本的训练效果并最大化训练效率？我们也可以称之为Batch Size与学习率之间的Scaling Law。

方差视角

直觉上，当Batch Size增大时，每个Batch的梯度将会更准，所以步子就可以迈大一点，也就是增大学习率，以求更快达到终点，缩短训练时间，这一点大体上都能想到。问题就是，增大多少才是最合适的呢？

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在《VQ的旋转技巧：梯度直通估计的一般推广》中，我们介绍了VQ（Vector Quantization）的Rotation Trick，它的思想是通过推广VQ的STE（Straight-Through Estimator）来为VQ设计更好的梯度，从而缓解VQ的编码表坍缩、编码表利用率低等问题。

无独有偶，昨天发布在arXiv上的论文《Addressing Representation Collapse in Vector Quantized Models with One Linear Layer》提出了改善VQ的另一个技巧：给编码表加一个线性变换。这个技巧单纯改变了编码表的参数化方式，不改变VQ背后的理论框架，但实测效果非常优异，称得上是简单有效的经典案例。

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这篇文章的主角是ID（Interpolative Decomposition），中文可以称之为“插值分解”，它同样可以理解为是一种具有特定结构的低秩分解，其中的一侧是该矩阵的若干列（当然如果你偏好于行，那么选择行也没什么问题），换句话说，ID试图从一个矩阵中找出若干关键列作为“骨架”（通常也称作“草图”）来逼近原始矩阵。

可能很多读者都未曾听说过ID，即便维基百科也只有几句语焉不详的介绍（链接），但事实上，ID跟SVD一样早已内置在SciPy之中（参考scipy.linalg.interpolative），这侧面印证了ID的实用价值。

基本定义

前三篇文章我们分别介绍了伪逆、SVD、CR近似，它们都可以视为寻找特定结构的低秩近似：
\begin{equation}\mathop{\text{argmin}}_{\text{rank}(\tilde{\boldsymbol{M}})\leq r}\Vert \tilde{\boldsymbol{M}} - \boldsymbol{M}\Vert_F^2\end{equation}

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在《低秩近似之路（二）：SVD》中，我们证明了SVD可以给出任意矩阵的最优低秩近似。那里的最优近似是无约束的，也就是说SVD给出的结果只管误差上的最小，不在乎矩阵的具体结构，而在很多应用场景中，出于可解释性或者非线性处理等需求，我们往往希望得到具有某些特殊结构的近似分解。

因此，从这篇文章开始，我们将探究一些具有特定结构的低秩近似，而本文将聚焦于其中的CR近似（Column-Row Approximation），它提供了加速矩阵乘法运算的一种简单方案。

问题背景

矩阵的最优$r$秩近似的一般提法是
\begin{equation}\mathop{\text{argmin}}_{\text{rank}(\tilde{\boldsymbol{M}})\leq r}\Vert \tilde{\boldsymbol{M}} - \boldsymbol{M}\Vert_F^2\label{eq:loss-m2}\end{equation}

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上一篇文章中我们介绍了“伪逆”，它关系到给定矩阵$\boldsymbol{M}$和$\boldsymbol{A}$（或$\boldsymbol{B}$）时优化目标$\Vert \boldsymbol{A}\boldsymbol{B} - \boldsymbol{M}\Vert_F^2$的最优解。这篇文章我们来关注$\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}$都不给出时的最优解，即
\begin{equation}\mathop{\text{argmin}}_{\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}}\Vert \boldsymbol{A}\boldsymbol{B} - \boldsymbol{M}\Vert_F^2\label{eq:loss-ab}\end{equation}
其中$\boldsymbol{A}\in\mathbb{R}^{n\times r}, \boldsymbol{B}\in\mathbb{R}^{r\times m}, \boldsymbol{M}\in\mathbb{R}^{n\times m},r < \min(n,m)$。说白了，这就是要寻找矩阵$\boldsymbol{M}$的“最优$r$秩近似（秩不超过$r$的最优近似）”。而要解决这个问题，就需要请出大名鼎鼎的“SVD（奇异值分解）”了。虽然本系列把伪逆作为开篇，但它的“名声”远不如SVD，听过甚至用过SVD但没听说过伪逆的应该大有人在，包括笔者也是先了解SVD后才看到伪逆。

接下来，我们将围绕着矩阵的最优低秩近似来展开介绍SVD。

结论初探

对于任意矩阵$\boldsymbol{M}\in\mathbb{R}^{n\times m}$，都可以找到如下形式的奇异值分解（SVD，Singular Value Decomposition）：
\begin{equation}\boldsymbol{M} = \boldsymbol{U}\boldsymbol{\Sigma} \boldsymbol{V}^{\top}\end{equation}

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Softmax，顾名思义是“soft的max”，是$\max$算子（准确来说是$\text{argmax}$）的光滑近似，它通过指数归一化将任意向量$\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^n$转化为分量非负且和为1的新向量，并允许我们通过温度参数来调节它与$\text{argmax}$（的one hot形式）的近似程度。除了指数归一化外，我们此前在《通向概率分布之路：盘点Softmax及其替代品》也介绍过其他一些能实现相同效果的方案。

我们知道，最大值通常又称Top-1，它的光滑近似方案看起来已经相当成熟，那读者有没有思考过，一般的Top-$k$的光滑近似又是怎么样的呢？下面让我们一起来探讨一下这个问题。

问题描述

设向量$\boldsymbol{x}=(x_1,x_2,\cdots,x_n)\in\mathbb{R}^n$，简单起见我们假设它们两两不相等，即$i\neq j \Leftrightarrow x_i\neq x_j$。记$\Omega_k(\boldsymbol{x})$为$\boldsymbol{x}$最大的$k$个分量的下标集合，即$|\Omega_k(\boldsymbol{x})|=k$以及$\forall i\in \Omega_k(\boldsymbol{x}), j \not\in \Omega_k(\boldsymbol{x})\Rightarrow x_i > x_j$。我们定义Top-$k$算子$\mathcal{T}_k$为$\mathbb{R}^n\mapsto\{0,1\}^n$的映射：
\begin{equation}
[\mathcal{T}_k(\boldsymbol{x})]_i = \left\{\begin{aligned}1,\,\, i\in \Omega_k(\boldsymbol{x}) \\ 0,\,\, i \not\in \Omega_k(\boldsymbol{x})\end{aligned}\right.
\end{equation}
说白了，如果$x_i$属于最大的$k$个元素之一，那么对应的位置变成1，否则变成0，最终结果是一个Multi-Hot向量，比如$\mathcal{T}_2([3,2,1,4]) = [1,0,0,1]$。

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可能很多读者跟笔者一样，对矩阵的低秩近似有种熟悉而又陌生的感觉。熟悉是因为，低秩近似的概念和意义都不难理解，加之目前诸如LoRA等基于低秩近似的微调技术遍地开花，让低秩近似的概念在耳濡目染间就已经深入人心；然而，低秩近似所覆盖的内容非常广，在低秩近似相关的论文中时常能看到一些不熟悉但又让我们叹为观止的新技巧，这就导致了一种似懂非懂的陌生感。

因此，在这个系列文章中，笔者将试图系统梳理一下矩阵低秩近似相关的理论内容，以补全对低秩近似的了解。而在第一篇文章中，我们主要介绍低秩近似系列中相对简单的一个概念——伪逆。

优化视角

伪逆（Pseudo Inverse），也称“广义逆（Generalized Inverse）”，顾名思义就是“广义的逆矩阵”，它实际上是“逆矩阵”的概念对于不可逆矩阵的推广。

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