科学空间|Scientific Spaces

科学空间是使用typecho程序搭建的博客，侧边栏提供了搜索功能，然而typecho内置搜索功能仅仅是基于字符串的全匹配查找，因此导致很多合理的查询都没法得到结果，比如“2018天象”、“新词算法”都没法给出结果，原因就是文章中都不包含这些字符串。

于是就萌生了加强搜索功能的想法，之前也有读者建议过这个事情。这两天搜索了一下，本来计划用Python下的Whoosh库来建立一个全文检索引擎，但感觉整合和后期维护的工作量太大，还是放弃了。后来想到在typecho自身的搜索上加强，在公司同事（大佬）的帮助下，完成了这个改进。

由于是直接修改typecho源文件实现的改进，因此如果typecho升级后就可能被覆盖，因此在这里做个备忘。

探索

通过在Github检索我发现，typecho的搜索功能是在var/Widget/Archive.php中实现的，具体代码大概在1185～1192行：

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2017年中，有两篇类似同时也是笔者非常欣赏的论文，分别是FaceBook的《Convolutional Sequence to Sequence Learning》和Google的《Attention is All You Need》，它们都算是Seq2Seq上的创新，本质上来说，都是抛弃了RNN结构来做Seq2Seq任务。

这篇博文中，笔者对《Attention is All You Need》做一点简单的分析。当然，这两篇论文本身就比较火，因此网上已经有很多解读了（不过很多解读都是直接翻译论文的，鲜有自己的理解），因此这里尽可能多自己的文字，尽量不重复网上各位大佬已经说过的内容。

序列编码

深度学习做NLP的方法，基本上都是先将句子分词，然后每个词转化为对应的词向量序列。这样一来，每个句子都对应的是一个矩阵$\boldsymbol{X}=(\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\dots,\boldsymbol{x}_t)$，其中$\boldsymbol{x}_i$都代表着第$i$个词的词向量（行向量），维度为$d$维，故$\boldsymbol{X}\in \mathbb{R}^{n\times d}$。这样的话，问题就变成了编码这些序列了。

第一个基本的思路是RNN层，RNN的方案很简单，递归式进行：
\begin{equation}\boldsymbol{y}_t = f(\boldsymbol{y}_{t-1},\boldsymbol{x}_t)\end{equation}
不管是已经被广泛使用的LSTM、GRU还是最近的SRU，都并未脱离这个递归框架。RNN结构本身比较简单，也很适合序列建模，但RNN的明显缺点之一就是无法并行，因此速度较慢，这是递归的天然缺陷。另外我个人觉得RNN无法很好地学习到全局的结构信息，因为它本质是一个马尔科夫决策过程。

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前言

今天在QQ群里的讨论中看到了focal loss，经搜索它是Kaiming大神团队在他们的论文《Focal Loss for Dense Object Detection》提出来的损失函数，利用它改善了图像物体检测的效果。不过我很少做图像任务，不怎么关心图像方面的应用。本质上讲，focal loss就是一个解决分类问题中类别不平衡、分类难度差异的一个loss，总之这个工作一片好评就是了。大家还可以看知乎的讨论：
《如何评价kaiming的Focal Loss for Dense Object Detection？》

看到这个loss，开始感觉很神奇，感觉大有用途。因为在NLP中，也存在大量的类别不平衡的任务。最经典的就是序列标注任务中类别是严重不平衡的，比如在命名实体识别中，显然一句话里边实体是比非实体要少得多，这就是一个类别严重不平衡的情况。我尝试把它用在我的基于序列标注的问答模型中，也有微小提升。嗯，这的确是一个好loss。

接着我再仔细对比了一下，我发现这个loss跟我昨晚构思的一个loss具有异曲同工之理！这就促使我写这篇博文了。我将从我自己的思考角度出发，来分析这个问题，最后得到focal loss，也给出我昨晚得到的类似的loss。

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本文希望用尽可能简短的语言把CRF（条件随机场，Conditional Random Field）的原理讲清楚，这里In A Nutshell在英文中其实有“导论”、“科普”等意思（霍金写过一本《果壳中的宇宙》，这里东施效颦一下）。

网上介绍CRF的文章，不管中文英文的，基本上都是先说一些概率图的概念，然后引入特征的指数公式，然后就说这是CRF。所谓“概率图”，只是一个形象理解的说法，然而如果原理上说不到点上，你说太多形象的比喻，反而让人糊里糊涂，以为你只是在装逼。（说到这里我又想怼一下了，求解神经网络，明明就是求一下梯度，然后迭代一下，这多好理解，偏偏还弄个装逼的名字叫“反向传播”，如果不说清楚它的本质是求导和迭代求解，一下子就说反向传播，有多少读者会懂？）

好了，废话说完了，来进入正题。

逐标签Softmax

CRF常见于序列标注相关的任务中。假如我们的模型输入为$Q$，输出目标是一个序列$a_1,a_2,\dots,a_n$，那么按照我们通常的建模逻辑，我们当然是希望目标序列的概率最大
$$P(a_1,a_2,\dots,a_n|Q)$$
不管用传统方法还是用深度学习方法，直接对完整的序列建模是比较艰难的，因此我们通常会使用一些假设来简化它，比如直接使用朴素假设，就得到
$$P(a_1,a_2,\dots,a_n|Q)=P(a_1|Q)P(a_2|Q)\dots P(a_n|Q)$$

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列表

更别致的词向量模型(一)：simpler glove

更别致的词向量模型(二)：对语言进行建模

更别致的词向量模型(三)：描述相关的模型

更别致的词向量模型(四)：模型的求解

更别致的词向量模型(五)：有趣的结果

更别致的词向量模型(六)：代码、分享与结语

代码

本文的实现位于：https://github.com/bojone/simpler_glove

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最后，我们来看一下词向量模型$(15)$会有什么好的性质，或者说，如此煞费苦心去构造一个新的词向量模型，会得到什么回报呢？

模长的含义

似乎所有的词向量模型中，都很少会关心词向量的模长。有趣的是，我们上述词向量模型得到的词向量，其模长还能在一定程度上代表着词的重要程度。我们可以从两个角度理解这个事实。

在一个窗口内的上下文，中心词重复出现概率其实是不大的，是一个比较随机的事件，因此可以粗略地认为
\[P(w,w) \sim P(w)\tag{24}\]
所以根据我们的模型，就有
\[e^{\langle\boldsymbol{v}_{w},\boldsymbol{v}_{w}\rangle} =\frac{P(w,w)}{P(w)P(w)}\sim \frac{1}{P(w)}\tag{25}\]
所以
\[\Vert\boldsymbol{v}_{w}\Vert^2 \sim -\log P(w)\tag{26}\]
可见，词语越高频（越有可能就是停用词、虚词等），对应的词向量模长就越小，这就表明了这种词向量的模长确实可以代表词的重要性。事实上，$-\log P(w)$这个量类似IDF，有个专门的名称叫ICF，请参考论文《TF-ICF: A New Term Weighting Scheme for Clustering Dynamic Data Streams》。

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损失函数

现在，我们来定义loss，以便把各个词向量求解出来。用$\tilde{P}$表示$P$的频率估计值，那么我们可以直接以下式为loss
\[\sum_{w_i,w_j}\left(\langle \boldsymbol{v}_i, \boldsymbol{v}_j\rangle-\log\frac{\tilde{P}(w_i,w_j)}{\tilde{P}(w_i)\tilde{P}(w_j)}\right)^2\tag{16}\]
相比之下，无论在参数量还是模型形式上，这个做法都比glove要简单，因此称之为simpler glove。glove模型是
\[\sum_{w_i,w_j}\left(\langle \boldsymbol{v}_i, \boldsymbol{\hat{v}}_j\rangle+b_i+\hat{b}_j-\log X_{ij}\right)^2\tag{17}\]
在glove模型中，对中心词向量和上下文向量做了区分，然后最后模型建议输出的是两套词向量的求和，据说这效果会更好，这是一个比较勉强的trick，但也不是什么毛病。最大的问题是参数$b_i,\hat{b}_j$也是可训练的，这使得模型是严重不适定的！我们有
\[\begin{aligned}&\sum_{w_i,w_j}\left(\langle \boldsymbol{v}_i, \boldsymbol{\hat{v}}_j\rangle+b_i+\hat{b}_j-\log \tilde{P}(w_i,w_j)\right)^2\\
=&\sum_{w_i,w_j}\left[\langle \boldsymbol{v}_i+\boldsymbol{c}, \boldsymbol{\hat{v}}_j+\boldsymbol{c}\rangle+\Big(b_i-\langle \boldsymbol{v}_i, \boldsymbol{c}\rangle - \frac{|\boldsymbol{c}|^2}{2}\Big)\right.\\
&\qquad\qquad\qquad\qquad\left.+\Big(\hat{b}_j-\langle \boldsymbol{\hat{v}}_j, \boldsymbol{c}\rangle - \frac{|\boldsymbol{c}|^2}{2}\Big)-\log X_{ij}\right]^2\end{aligned}\tag{18}\]
这就是说，如果你有了一组解，那么你将所有词向量加上任意一个常数向量后，它还是一组解！这个问题就严重了，我们无法预估得到的是哪组解，一旦加上的是一个非常大的常向量，那么各种度量都没意义了（比如任意两个词的cos值都接近1）。事实上，对glove生成的词向量进行验算就可以发现，glove生成的词向量，停用词的模长远大于一般词的模长，也就是说一堆词放在一起时，停用词的作用还明显些，这显然是不利用后续模型的优化的。（虽然从目前的关于glove的实验结果来看，是我强迫症了一些。）

互信息估算

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几何词向量

上述“月老”之云虽说只是幻想，但所面临的问题却是真实的。按照传统NLP的手段，我们可以统计任意两个词的共现频率以及每个词自身的频率，然后去算它们的相关度，从而得到一个“相关度矩阵”。然而正如前面所说，这个共现矩阵太庞大了，必须压缩降维，同时还要做数据平滑，给未出现的词对的相关度赋予一个合理的估值。

在已有的机器学习方案中，我们已经有一些对庞大的矩阵降维的经验了，比如SVD和pLSA，SVD是对任意矩阵的降维，而pLSA是对转移概率矩阵$P(j|i)$的降维，两者的思想是类似的，都是将一个大矩阵$\boldsymbol{A}$分解为两个小矩阵的乘积$\boldsymbol{A}\approx\boldsymbol{B}\boldsymbol{C}$，其中$\boldsymbol{B}$的行数等于$\boldsymbol{A}$的行数，$\boldsymbol{C}$的列数等于$\boldsymbol{A}$的列数，而它们本身的大小则远小于$\boldsymbol{A}$的大小。如果对$\boldsymbol{B},\boldsymbol{C}$不做约束，那么就是SVD；如果对$\boldsymbol{B},\boldsymbol{C}$做正定归一化约束，那就是pLSA。

但是如果是相关度矩阵，那么情况不大一样，它是正定的但不是归一的，我们需要为它设计一个新的压缩方案。借鉴矩阵分解的经验，我们可以设想把所有的词都放在$n$维空间中，也就是用$n$维空间中的一个向量来表示，并假设它们的相关度就是内积的某个函数（为什么是内积？因为矩阵乘法本身就是不断地做内积）：
\[\frac{P(w_i,w_j)}{P(w_i)P(w_j)}=f\big(\langle \boldsymbol{v}_i, \boldsymbol{v}_j\rangle\big)\tag{8}\]
其中加粗的$\boldsymbol{v}_i, \boldsymbol{v}_j$表示词$w_i,w_j$对应的词向量。从几何的角度看，我们就是把词语放置到了$n$维空间中，用空间中的点来表示一个词。

因为几何给我们的感觉是直观的，而语义给我们的感觉是复杂的，因此，理想情况下我们希望能够通过几何关系来反映语义关系。下面我们就根据我们所希望的几何特性，来确定待定的函数$f$。事实上，glove词向量的那篇论文中做过类似的事情，很有启发性，但glove的推导实在是不怎么好看。请留意，这里的观点是新颖的——从我们希望的性质，来确定我们的模型，而不是反过来有了模型再推导性质。

机场-飞机+火车=火车站

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