生成扩散模型漫谈(一):DDPM = 拆楼 + 建楼
By 苏剑林 | 2022-06-13 | 393983位读者 |说到生成模型,VAE、GAN可谓是“如雷贯耳”,本站也有过多次分享。此外,还有一些比较小众的选择,如flow模型、VQ-VAE等,也颇有人气,尤其是VQ-VAE及其变体VQ-GAN,近期已经逐渐发展到“图像的Tokenizer”的地位,用来直接调用NLP的各种预训练方法。除了这些之外,还有一个本来更小众的选择——扩散模型(Diffusion Models)——正在生成模型领域“异军突起”,当前最先进的两个文本生成图像——OpenAI的DALL·E 2和Google的Imagen,都是基于扩散模型来完成的。
从本文开始,我们开一个新坑,逐渐介绍一下近两年关于生成扩散模型的一些进展。据说生成扩散模型以数学复杂闻名,似乎比VAE、GAN要难理解得多,是否真的如此?扩散模型真的做不到一个“大白话”的理解?让我们拭目以待。
新的起点 #
其实我们在之前的文章《能量视角下的GAN模型(三):生成模型=能量模型》、《从去噪自编码器到生成模型》也简单介绍过扩散模型。说到扩散模型,一般的文章都会提到能量模型(Energy-based Models)、得分匹配(Score Matching)、朗之万方程(Langevin Equation)等等,简单来说,是通过得分匹配等技术来训练能量模型,然后通过郎之万方程来执行从能量模型的采样。
从理论上来讲,这是一套很成熟的方案,原则上可以实现任何连续型对象(语音、图像等)的生成和采样。但从实践角度来看,能量函数的训练是一件很艰难的事情,尤其是数据维度比较大(比如高分辨率图像)时,很难训练出完备能量函数来;另一方面,通过朗之万方程从能量模型的采样也有很大的不确定性,得到的往往是带有噪声的采样结果。所以很长时间以来,这种传统路径的扩散模型只是在比较低分辨率的图像上做实验。
如今生成扩散模型的大火,则是始于2020年所提出的DDPM(Denoising Diffusion Probabilistic Model),虽然也用了“扩散模型”这个名字,但事实上除了采样过程的形式有一定的相似之外,DDPM与传统基于朗之万方程采样的扩散模型可以说完全不一样,这完全是一个新的起点、新的篇章。
准确来说,DDPM叫“渐变模型”更为准确一些,扩散模型这一名字反而容易造成理解上的误解,传统扩散模型的能量模型、得分匹配、朗之万方程等概念,其实跟DDPM及其后续变体都没什么关系。有意思的是,DDPM的数学框架其实在ICML2015的论文《Deep Unsupervised Learning using Nonequilibrium Thermodynamics》就已经完成了,但DDPM是首次将它在高分辨率图像生成上调试出来了,从而引导出了后面的火热。由此可见,一个模型的诞生和流行,往往还需要时间和机遇,
拆楼建楼 #
很多文章在介绍DDPM时,上来就引入转移分布,接着就是变分推断,一堆数学记号下来,先吓跑了一群人(当然,从这种介绍我们可以再次看出,DDPM实际上是VAE而不是扩散模型),再加之人们对传统扩散模型的固有印象,所以就形成了“需要很高深的数学知识”的错觉。事实上,DDPM也可以有一种很“大白话”的理解,它并不比有着“造假-鉴别”通俗类比的GAN更难。
首先,我们想要做一个像GAN那样的生成模型,它实际上是将一个随机噪声$\boldsymbol{z}$变换成一个数据样本$\boldsymbol{x}$的过程:
\begin{equation}\require{AMScd}\begin{CD}
\text{随机噪声}\boldsymbol{z}\quad @>\quad\text{变换}\quad>> \quad\text{样本数据}\boldsymbol{x}\\
@V \text{类比} VV @VV \text{类比} V\\
\text{砖瓦水泥}\quad @>\quad\text{建设}\quad>> \quad\text{高楼大厦}\\
\end{CD}\end{equation}
我们可以将这个过程想象为“建设”,其中随机噪声$\boldsymbol{z}$是砖瓦水泥等原材料,样本数据$\boldsymbol{x}$是高楼大厦,所以生成模型就是一支用原材料建设高楼大厦的施工队。
这个过程肯定很难的,所以才有了那么多关于生成模型的研究。但俗话说“破坏容易建设难”,建楼你不会,拆楼你总会了吧?我们考虑将高楼大厦一步步地拆为砖瓦水泥的过程:设$\boldsymbol{x}_0$为建好的高楼大厦(数据样本),$\boldsymbol{x}_T$为拆好的砖瓦水泥(随机噪声),假设“拆楼”需要$T$步,整个过程可以表示为
\begin{equation}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{x}_0 \to \boldsymbol{x}_1 \to \boldsymbol{x}_2 \to \cdots \to \boldsymbol{x}_{T-1} \to \boldsymbol{x}_T = \boldsymbol{z}\end{equation}
建高楼大厦的难度在于,从原材料$\boldsymbol{x}_T$到最终高楼大厦$\boldsymbol{x}_0$的跨度过大,普通人很难理解$\boldsymbol{x}_T$是怎么一下子变成$\boldsymbol{x}_0$的。但是,当我们有了“拆楼”的中间过程$\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\cdots,\boldsymbol{x}_T$后,我们知道$\boldsymbol{x}_{t-1} \to \boldsymbol{x}_t$代表着拆楼的一步,那么反过来$\boldsymbol{x}_t\to \boldsymbol{x}_{t-1}$不就是建楼的一步?如果我们能学会两者之间的变换关系$\boldsymbol{x}_{t-1}=\boldsymbol{\mu}(\boldsymbol{x}_t)$,那么从$\boldsymbol{x}_T$出发,反复地执行$\boldsymbol{x}_{T-1}=\boldsymbol{\mu}(\boldsymbol{x}_T)$、$\boldsymbol{x}_{T-2}=\boldsymbol{\mu}(\boldsymbol{x}_{T-1})$、...,最终不就能造出高楼大厦$\boldsymbol{x}_0$出来?
该怎么拆 #
正所谓“饭要一口一口地吃”,楼也要一步一步地建,DDPM做生成模型的过程,其实跟上述“拆楼-建楼”的类比是完全一致的,它也是先反过来构建一个从数据样本渐变到随机噪声的过程,然后再考虑其逆变换,通过反复执行逆变换来完成数据样本的生成,所以本文前面才说DDPM这种做法其实应该更准确地称为“渐变模型”而不是“扩散模型”。
具体来说,DDPM将“拆楼”的过程建模为
\begin{equation}\boldsymbol{x}_t = \alpha_t \boldsymbol{x}_{t-1} + \beta_t \boldsymbol{\varepsilon}_t,\quad \boldsymbol{\varepsilon}_t\sim\mathcal{N}(\boldsymbol{0}, \boldsymbol{I})\label{eq:forward}\end{equation}
其中有$\alpha_t,\beta_t > 0$且$\alpha_t^2 + \beta_t^2=1$,$\beta_t$通常很接近于0,代表着单步“拆楼”中对原来楼体的破坏程度,噪声$\boldsymbol{\varepsilon}_t$的引入代表着对原始信号的一种破坏,我们也可以将它理解为“原材料”,即每一步“拆楼”中我们都将$\boldsymbol{x}_{t-1}$拆解为“$\alpha_t \boldsymbol{x}_{t-1}$的楼体 + $\beta_t \boldsymbol{\varepsilon}_t$的原料”。(提示:本文$\alpha_t,\beta_t$的定义跟原论文不一样。)
反复执行这个拆楼的步骤,我们可以得到:
\begin{equation}\begin{aligned}
\boldsymbol{x}_t =&\, \alpha_t \boldsymbol{x}_{t-1} + \beta_t \boldsymbol{\varepsilon}_t \\
=&\, \alpha_t \big(\alpha_{t-1} \boldsymbol{x}_{t-2} + \beta_{t-1} \boldsymbol{\varepsilon}_{t-1}\big) + \beta_t \boldsymbol{\varepsilon}_t \\
=&\,\cdots\\
=&\,(\alpha_t\cdots\alpha_1) \boldsymbol{x}_0 + \underbrace{(\alpha_t\cdots\alpha_2)\beta_1 \boldsymbol{\varepsilon}_1 + (\alpha_t\cdots\alpha_3)\beta_2 \boldsymbol{\varepsilon}_2 + \cdots + \alpha_t\beta_{t-1} \boldsymbol{\varepsilon}_{t-1} + \beta_t \boldsymbol{\varepsilon}_t}_{\text{多个相互独立的正态噪声之和}}
\end{aligned}\label{eq:expand}\end{equation}
可能刚才读者就想问为什么叠加的系数要满足$\alpha_t^2 + \beta_t^2 = 1$了,现在我们就可以回答这个问题。首先,式中花括号所指出的部分,正好是多个独立的正态噪声之和,其均值为0,方差则分别为$(\alpha_t\cdots\alpha_2)^2\beta_1^2$、$(\alpha_t\cdots\alpha_3)^2\beta_2^2$、...、$\alpha_t^2\beta_{t-1}^2$、$\beta_t^2$;然后,我们利用一个概率论的知识——正态分布的叠加性,即上述多个独立的正态噪声之和的分布,实际上是均值为0、方差为$(\alpha_t\cdots\alpha_2)^2\beta_1^2 + (\alpha_t\cdots\alpha_3)^2\beta_2^2 + \cdots + \alpha_t^2\beta_{t-1}^2 + \beta_t^2$的正态分布;最后,在$\alpha_t^2 + \beta_t^2 = 1$恒成立之下,我们可以得到式$\eqref{eq:expand}$的各项系数平方和依旧为1,即
\begin{equation}(\alpha_t\cdots\alpha_1)^2 + (\alpha_t\cdots\alpha_2)^2\beta_1^2 + (\alpha_t\cdots\alpha_3)^2\beta_2^2 + \cdots + \alpha_t^2\beta_{t-1}^2 + \beta_t^2 = 1\end{equation}
所以实际上相当于有
\begin{equation}\boldsymbol{x}_t = \underbrace{(\alpha_t\cdots\alpha_1)}_{\text{记为}\bar{\alpha}_t} \boldsymbol{x}_0 + \underbrace{\sqrt{1 - (\alpha_t\cdots\alpha_1)^2}}_{\text{记为}\bar{\beta}_t} \bar{\boldsymbol{\varepsilon}}_t,\quad \bar{\boldsymbol{\varepsilon}}_t\sim\mathcal{N}(\boldsymbol{0}, \boldsymbol{I})\label{eq:skip}\end{equation}
这就为计算$\boldsymbol{x}_t$提供了极大的便利。另一方面,DDPM会选择适当的$\alpha_t$形式,使得有$\bar{\alpha}_T\approx 0$,这意味着经过$T$步的拆楼后,所剩的楼体几乎可以忽略了,已经全部转化为原材料$\boldsymbol{\varepsilon}$。(提示:本文$\bar{\alpha}_t$的定义跟原论文不一样。)
又如何建 #
“拆楼”是$\boldsymbol{x}_{t-1}\to \boldsymbol{x}_t$的过程,这个过程我们得到很多的数据对$(\boldsymbol{x}_{t-1},\boldsymbol{x}_t)$,那么“建楼”自然就是从这些数据对中学习一个$\boldsymbol{x}_t\to \boldsymbol{x}_{t-1}$的模型。设该模型为$\boldsymbol{\mu}(\boldsymbol{x}_t)$,那么容易想到学习方案就是最小化两者的欧氏距离:
\begin{equation}\left\Vert\boldsymbol{x}_{t-1} - \boldsymbol{\mu}(\boldsymbol{x}_t)\right\Vert^2\label{eq:loss-0}\end{equation}
其实这已经非常接近最终的DDPM模型了,接下来让我们将这个过程做得更精细一些。首先“拆楼”的式$\eqref{eq:forward}$可以改写为$\boldsymbol{x}_{t-1} = \frac{1}{\alpha_t}\left(\boldsymbol{x}_t - \beta_t \boldsymbol{\varepsilon}_t\right)$,这启发我们或许可以将“建楼”模型$\boldsymbol{\mu}(\boldsymbol{x}_t)$设计成
\begin{equation}\boldsymbol{\mu}(\boldsymbol{x}_t) = \frac{1}{\alpha_t}\left(\boldsymbol{x}_t - \beta_t \boldsymbol{\epsilon}_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x}_t, t)\right)\label{eq:sample}\end{equation}
的形式,其中$\boldsymbol{\theta}$是训练参数,将其代入到损失函数,得到
\begin{equation}\left\Vert\boldsymbol{x}_{t-1} - \boldsymbol{\mu}(\boldsymbol{x}_t)\right\Vert^2 = \frac{\beta_t^2}{\alpha_t^2}\left\Vert \boldsymbol{\varepsilon}_t - \boldsymbol{\epsilon}_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x}_t, t)\right\Vert^2\end{equation}
前面的因子$\frac{\beta_t^2}{\alpha_t^2}$代表loss的权重,这个我们可以暂时忽略,最后代入结合式$\eqref{eq:skip}$和$\eqref{eq:forward}$所给出$\boldsymbol{x}_t$的表达式
\begin{equation}\boldsymbol{x}_t = \alpha_t\boldsymbol{x}_{t-1} + \beta_t \boldsymbol{\varepsilon}_t = \alpha_t\left(\bar{\alpha}_{t-1}\boldsymbol{x}_0 + \bar{\beta}_{t-1}\bar{\boldsymbol{\varepsilon}}_{t-1}\right) + \beta_t \boldsymbol{\varepsilon}_t = \bar{\alpha}_t\boldsymbol{x}_0 + \alpha_t\bar{\beta}_{t-1}\bar{\boldsymbol{\varepsilon}}_{t-1} + \beta_t \boldsymbol{\varepsilon}_t \end{equation}
得到损失函数的形式为
\begin{equation}\left\Vert \boldsymbol{\varepsilon}_t - \boldsymbol{\epsilon}_{\boldsymbol{\theta}}(\bar{\alpha}_t\boldsymbol{x}_0 + \alpha_t\bar{\beta}_{t-1}\bar{\boldsymbol{\varepsilon}}_{t-1} + \beta_t \boldsymbol{\varepsilon}_t, t)\right\Vert^2\label{eq:loss-1}\end{equation}
可能读者想问为什么要回退一步来给出$\boldsymbol{x}_t$,直接根据式$\eqref{eq:skip}$来给出$\boldsymbol{x}_t$可以吗?答案是不行,因为我们已经事先采样了$\boldsymbol{\varepsilon}_t$,而$\boldsymbol{\varepsilon}_t$跟$\bar{\boldsymbol{\varepsilon}}_t$不是相互独立的,所以给定$\boldsymbol{\varepsilon}_t$的情况下,我们不能完全独立地采样$\bar{\boldsymbol{\varepsilon}}_t$。
降低方差 #
原则上来说,损失函数$\eqref{eq:loss-1}$就可以完成DDPM的训练,但它在实践中可能有方差过大的风险,从而导致收敛过慢等问题。要理解这一点并不困难,只需要观察到式$\eqref{eq:loss-1}$实际上包含了4个需要采样的随机变量:
1、从所有训练样本中采样一个$\boldsymbol{x}_0$;
2、从正态分布$\mathcal{N}(\boldsymbol{0}, \boldsymbol{I})$中采样$\bar{\boldsymbol{\varepsilon}}_{t-1}, \boldsymbol{\varepsilon}_t$(两个不同的采样结果);
3、从$1\sim T$中采样一个$t$。
要采样的随机变量越多,就越难对损失函数做准确的估计,反过来说就是每次对损失函数进行估计的波动(方差)过大了。很幸运的是,我们可以通过一个积分技巧来将$\bar{\boldsymbol{\varepsilon}}_{t-1}, \boldsymbol{\varepsilon}_t$合并成单个正态随机变量,从而缓解一下方差大的问题。
这个积分确实有点技巧性,但也不算复杂。由于正态分布的叠加性,我们知道$\alpha_t\bar{\beta}_{t-1}\bar{\boldsymbol{\varepsilon}}_{t-1} + \beta_t \boldsymbol{\varepsilon}_t$实际上相当于单个随机变量$\bar{\beta}_t\boldsymbol{\varepsilon}|\boldsymbol{\varepsilon}\sim \mathcal{N}(\boldsymbol{0}, \boldsymbol{I})$,同理$\beta_t \bar{\boldsymbol{\varepsilon}}_{t-1} - \alpha_t\bar{\beta}_{t-1} \boldsymbol{\varepsilon}_t$实际上相当于单个随机变量$\bar{\beta}_t\boldsymbol{\omega}|\boldsymbol{\omega}\sim \mathcal{N}(\boldsymbol{0}, \boldsymbol{I})$,并且可以验证$\mathbb{E}[\boldsymbol{\varepsilon}\boldsymbol{\omega}^{\top}]=\boldsymbol{0}$,所以这是两个相互独立的正态随机变量。
接下来,我们反过来将$\boldsymbol{\varepsilon}_t$用$\boldsymbol{\varepsilon},\boldsymbol{\omega}$重新表示出来
\begin{equation}\boldsymbol{\varepsilon}_t = \frac{(\beta_t \boldsymbol{\varepsilon} - \alpha_t\bar{\beta}_{t-1} \boldsymbol{\omega})\bar{\beta}_t}{\beta_t^2 + \alpha_t^2\bar{\beta}_{t-1}^2} = \frac{\beta_t \boldsymbol{\varepsilon} - \alpha_t\bar{\beta}_{t-1} \boldsymbol{\omega}}{\bar{\beta}_t}\end{equation}
代入到式$\eqref{eq:loss-1}$得到
\begin{equation}\begin{aligned}
&\,\mathbb{E}_{\bar{\boldsymbol{\varepsilon}}_{t-1}, \boldsymbol{\varepsilon}_t\sim \mathcal{N}(\boldsymbol{0}, \boldsymbol{I})}\left[\left\Vert \boldsymbol{\varepsilon}_t - \boldsymbol{\epsilon}_{\boldsymbol{\theta}}(\bar{\alpha}_t\boldsymbol{x}_0 + \alpha_t\bar{\beta}_{t-1}\bar{\boldsymbol{\varepsilon}}_{t-1} + \beta_t \boldsymbol{\varepsilon}_t, t)\right\Vert^2\right] \\
=&\,\mathbb{E}_{\boldsymbol{\omega}, \boldsymbol{\varepsilon}\sim \mathcal{N}(\boldsymbol{0}, \boldsymbol{I})}\left[\left\Vert \frac{\beta_t \boldsymbol{\varepsilon} - \alpha_t\bar{\beta}_{t-1} \boldsymbol{\omega}}{\bar{\beta}_t} - \boldsymbol{\epsilon}_{\boldsymbol{\theta}}(\bar{\alpha}_t\boldsymbol{x}_0 + \bar{\beta}_t\boldsymbol{\varepsilon}, t)\right\Vert^2\right]
\end{aligned}\end{equation}
注意到,现在损失函数关于$\boldsymbol{\omega}$只是二次的,所以我们可以展开然后将它的期望直接算出来,结果是
\begin{equation}\frac{\beta_t^2}{\bar{\beta}_t^2}\mathbb{E}_{\boldsymbol{\varepsilon}\sim \mathcal{N}(\boldsymbol{0}, \boldsymbol{I})}\left[\left\Vert\boldsymbol{\varepsilon} - \frac{\bar{\beta}_t}{\beta_t}\boldsymbol{\epsilon}_{\boldsymbol{\theta}}(\bar{\alpha}_t\boldsymbol{x}_0 + \bar{\beta}_t\boldsymbol{\varepsilon}, t)\right\Vert^2\right]+\text{常数}\end{equation}
再次省掉常数和损失函数的权重,我们得到DDPM最终所用的损失函数:
\begin{equation}\left\Vert\boldsymbol{\varepsilon} - \frac{\bar{\beta}_t}{\beta_t}\boldsymbol{\epsilon}_{\boldsymbol{\theta}}(\bar{\alpha}_t\boldsymbol{x}_0 + \bar{\beta}_t\boldsymbol{\varepsilon}, t)\right\Vert^2\end{equation}
(提示:原论文中的$\boldsymbol{\epsilon}_{\boldsymbol{\theta}}$实际上就是本文的$\frac{\bar{\beta}_t}{\beta_t}\boldsymbol{\epsilon}_{\boldsymbol{\theta}}$,所以大家的结果是完全一样的。)
递归生成 #
至此,我们算是把DDPM的整个训练流程捋清楚了。内容写了不少,你要说它很容易,那肯定说不上,但真要说非常困难的地方也几乎没有——没有用到传统的能量函数、得分匹配等工具,甚至连变分推断的知识都没有用到,只是借助“拆楼-建楼”的类比和一些基本的概率论知识,就能得到完全一样的结果。所以说,以DDPM为代表的新兴起的生成扩散模型,实际上没有很多读者想象的复杂,它可以说是我们从“拆解-重组”的过程中学习新知识的形象建模。
训练完之后,我们就可以从一个随机噪声$\boldsymbol{x}_T\sim\mathcal{N}(\boldsymbol{0}, \boldsymbol{I})$出发执行$T$步式$\eqref{eq:sample}$来进行生成:
\begin{equation}\boldsymbol{x}_{t-1} = \frac{1}{\alpha_t}\left(\boldsymbol{x}_t - \beta_t \boldsymbol{\epsilon}_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x}_t, t)\right)\end{equation}
这对应于自回归解码中的Greedy Search。如果要进行Random Sample,那么需要补上噪声项:
\begin{equation}\boldsymbol{x}_{t-1} = \frac{1}{\alpha_t}\left(\boldsymbol{x}_t - \beta_t \boldsymbol{\epsilon}_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x}_t, t)\right) + \sigma_t \boldsymbol{z},\quad \boldsymbol{z}\sim\mathcal{N}(\boldsymbol{0}, \boldsymbol{I})\end{equation}
一般来说,我们可以让$\sigma_t=\beta_t$,即正向和反向的方差保持同步。这个采样过程跟传统扩散模型的朗之万采样不一样的地方在于:DDPM的采样每次都从一个随机噪声出发,需要重复迭代$T$步来得到一个样本输出;朗之万采样则是从任意一个点出发,反复迭代无限步,理论上这个迭代无限步的过程中,就把所有数据样本都被生成过了。所以两者除了形式相似外,实质上是两个截然不同的模型。
从这个生成过程中,我们也可以感觉到它其实跟Seq2Seq的解码过程是一样的,都是串联式的自回归生成,所以生成速度是一个瓶颈,DDPM设了$T=1000$,意味着每生成一个图片,需要将$\boldsymbol{\epsilon}_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x}_t, t)$反复执行1000次,因此DDPM的一大缺点就是采样速度慢,后面有很多工作都致力于提升DDPM的采样速度。而说到“图片生成 + 自回归模型 + 很慢”,有些读者可能会联想到早期的PixelRNN、PixelCNN等模型,它们将图片生成转换成语言模型任务,所以同样也是递归地进行采样生成以及同样地慢。那么DDPM的这种自回归生成,跟PixelRNN/PixelCNN的自回归生成,又有什么实质区别呢?为什么PixelRNN/PixelCNN没大火起来,反而轮到了DDPM?
了解PixelRNN/PixelCNN的读者都知道,这类生成模型是逐个像素逐个像素地生成图片的,而自回归生成是有序的,这就意味着我们要提前给图片的每个像素排好顺序,最终的生成效果跟这个顺序紧密相关。然而,目前这个顺序只能是人为地凭着经验来设计(这类经验的设计都统称为“Inductive Bias”),暂时找不到理论最优解。换句话说,PixelRNN/PixelCNN的生成效果很受Inductive Bias的影响。但DDPM不一样,它通过“拆楼”的方式重新定义了一个自回归方向,而对于所有的像素来说则都是平权的、无偏的,所以减少了Inductive Bias的影响,从而提升了效果。此外,DDPM生成的迭代步数是固定的$T$,而PixelRNN/PixelCNN则是等于图像分辨率($\text{宽}\times\text{高}\times{通道数}$),所以DDPM生成高分辨率图像的速度要比PixelRNN/PixelCNN快得多。
超参设置 #
这一节我们讨论一下超参的设置问题。
在DDPM中,$T=1000$,可能比很多读者的想象数值要大,那为什么要设置这么大的$T$呢?另一边,对于$\alpha_t$的选择,将原论文的设置翻译到本博客的记号上,大致上是
\begin{equation}\alpha_t = \sqrt{1 - \frac{0.02t}{T}}\end{equation}
这是一个单调递减的函数,那为什么要选择单调递减的$\alpha_t$呢?
其实这两个问题有着相近的答案,跟具体的数据背景有关。简单起见,在重构的时候我们用了欧氏距离$\eqref{eq:loss-0}$作为损失函数,而一般我们用DDPM做图片生成,以往做过图片生成的读者都知道,欧氏距离并不是图片真实程度的一个好的度量,VAE用欧氏距离来重构时,往往会得到模糊的结果,除非是输入输出的两张图片非常接近,用欧氏距离才能得到比较清晰的结果,所以选择尽可能大的$T$,正是为了使得输入输出尽可能相近,减少欧氏距离带来的模糊问题。
选择单调递减的$\alpha_t$也有类似考虑。当$t$比较小时,$\boldsymbol{x}_t$还比较接近真实图片,所以我们要缩小$\boldsymbol{x}_{t-1}$与$\boldsymbol{x}_t$的差距,以便更适用欧氏距离$\eqref{eq:loss-0}$,因此要用较大的$\alpha_t$;当$t$比较大时,$\boldsymbol{x}_t$已经比较接近纯噪声了,噪声用欧式距离无妨,所以可以稍微增大$\boldsymbol{x}_{t-1}$与$\boldsymbol{x}_t$的差距,即可以用较小的$\alpha_t$。那么可不可以一直用较大的$\alpha_t$呢?可以是可以,但是要增大$T$。注意在推导$\eqref{eq:skip}$时,我们说过应该有$\bar{\alpha}_T\approx 0$,而我们可以直接估算
\begin{equation}\log \bar{\alpha}_T = \sum_{t=1}^T \log\alpha_t = \frac{1}{2} \sum_{t=1}^T \log\left(1 - \frac{0.02t}{T}\right) < \frac{1}{2} \sum_{t=1}^T \left(- \frac{0.02t}{T}\right) = -0.005(T+1)\end{equation}
代入$T=1000$大致是$\bar{\alpha}_T\approx e^{-5}$,这个其实就刚好达到$\approx 0$的标准。所以如果从头到尾都用较大的$\alpha_t$,那么必然要更大的$T$才能使得$\bar{\alpha}_T\approx 0$了。
最后我们留意到,“建楼”模型中的$\boldsymbol{\epsilon}_{\boldsymbol{\theta}}(\bar{\alpha}_t\boldsymbol{x}_0 + \bar{\beta}_t\boldsymbol{\varepsilon}, t)$中,我们在输入中显式地写出了$t$,这是因为原则上不同的$t$处理的是不同层次的对象,所以应该用不同的重构模型,即应该有$T$个不同的重构模型才对,于是我们共享了所有重构模型的参数,将$t$作为条件传入。按照论文附录的说法,$t$是转换成《Transformer升级之路:1、Sinusoidal位置编码追根溯源》介绍的位置编码后,直接加到残差模块上去的。
文章小结 #
本文从“拆楼-建楼”的通俗类比中介绍了最新的生成扩散模型DDPM,在这个视角中,我们可以通过较为“大白话”的描述以及比较少的数学推导,来得到跟原始论文一模一样的结果。总的来说,本文说明了DDPM也可以像GAN一样找到一个形象类比,它既可以不用到VAE中的“变分”,也可以不用到GAN中的“概率散度”、“最优传输”,从这个意义上来看,DDPM甚至算得上比VAE、GAN还要简单。
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苏剑林. (Jun. 13, 2022). 《生成扩散模型漫谈(一):DDPM = 拆楼 + 建楼 》[Blog post]. Retrieved from https://spaces.ac.cn/archives/9119
@online{kexuefm-9119,
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author={苏剑林},
year={2022},
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October 12th, 2022
公式(12)->(15),把 epsilon_t 转换为 epsilon 和 w,那是否可以理解为 epsilon 还是 x_(t-1) 变到 x_t 时加的噪声,而不是 x_0 到 x_t 加的噪声,也就是 epsilon_theta 预测的是单步的噪声,而不是从 0 到 t 的噪声,谢谢
October 18th, 2022
公式(5)等号右边是不是少了(αt...α1)的平方
好像没少。
October 20th, 2022
请问一下公式(12)是怎么推出来的,这一步没太看懂
求解二元一次方程组。
公式12能详细解释一下嘛,谢谢
参考 @苏剑林|comment-19316
多谢
October 22nd, 2022
目前从公式13到公式14不清楚怎么消去w的,其他的我自己都推了一遍,有一些细节这里还是没有写出来,
另外,w这个量的来源我也没找到, 是否是凑出来为何要写成βtε¯t−1−αtβ¯t−1εt 这个样子,有了解的请帮忙解释一下谢谢!
1、参考@wangyixuan|comment-19506;
2、$\boldsymbol{\omega}$的来源是希望能凑出一个满足$\mathbb{E}[\boldsymbol{\varepsilon}\boldsymbol{\omega}^{\top}]=\boldsymbol{0}$的随机变量出来。
E[εω⊤]=0 为什么成立呢?这里不是很理解
因为
$$\left\{\begin{aligned}
\alpha_t\bar{\beta}_{t-1}\bar{\boldsymbol{\varepsilon}}_{t-1} + \beta_t \boldsymbol{\varepsilon}_t = \bar{\beta}_t\boldsymbol{\varepsilon}\\
\beta_t \bar{\boldsymbol{\varepsilon}}_{t-1} - \alpha_t\bar{\beta}_{t-1} \boldsymbol{\varepsilon}_t = \bar{\beta}_t\boldsymbol{\omega}
\end{aligned}\right.$$
所以
$$\mathbb{E}[\bar{\beta}_t\bar{\beta}_t\boldsymbol{\varepsilon}\boldsymbol{\omega}^{\top}] = \mathbb{E}[(\alpha_t\bar{\beta}_{t-1}\bar{\boldsymbol{\varepsilon}}_{t-1} + \beta_t \boldsymbol{\varepsilon}_t)(\beta_t \bar{\boldsymbol{\varepsilon}}_{t-1} - \alpha_t\bar{\beta}_{t-1} \boldsymbol{\varepsilon}_t)^{\top}]$$
展开逐项计算。
看了下,终于搞清楚了
$\mathbb{E}\left[\varepsilon\omega\right]=0$
$\mathbb{E}\left[\omega\varepsilon_{\theta}\right]=0$
所以可以把$\omega$消掉
数学小白,关于
$$ \mathbb{E}[\overline{\beta}_t\overline{\beta}_t\epsilon\omega^\top]=\mathbb{E}[(\alpha_t\overline{\beta}_{t-1}\overline{\epsilon}_{t-1}+\beta_t\epsilon_t)(\beta_t\overline{\epsilon}_{t-1}-\alpha_t\overline{\beta}_{t-1}\epsilon_t)^\top] $$
这个公式展开还是卡住了,推导不出期望为 0,希望博主可以进一步解惑,多谢
$$\mathbb{E}[\bar{\boldsymbol{\varepsilon}}_{t-1}\bar{\boldsymbol{\varepsilon}}_{t-1}^{\top}]=\mathbb{E}[\boldsymbol{\varepsilon}_t\boldsymbol{\varepsilon}_t^{\top}]=\boldsymbol{I},\quad \mathbb{E}[\bar{\boldsymbol{\varepsilon}}_{t-1}\boldsymbol{\varepsilon}_t^{\top}]=\mathbb{E}[\boldsymbol{\varepsilon}_t\bar{\boldsymbol{\varepsilon}}_{t-1}^{\top}]=\boldsymbol{0}$$
October 26th, 2022
苏神,想请教下该如何理解这个视角下生成过程中的加噪操作。按公式推导的话可以明白,采样过程中应该加上这部分方差项,不过想知道它和random sample的联系是什么呢。
我实际跑实验如果去掉这部分加噪,不管初始噪声如何采样结果确实都趋于很相似的图像,这是否说明直接用均值作为$x_{t-1}$其实都是一样的呢?求教,感谢苏神。(之前提交了评论似乎没有成功,如果重复了表示抱歉)
噪声就是增加多样性。你可以单纯从标准正态分布的角度来类比,标准正态分布最大概率的点是零向量,但是你随机采样一万个标准正态向量,它们都离零向量很远,所以说最大概率(去掉噪声)不等于最常见、最真实。
October 30th, 2022
请问,怎么保证拆楼拆出来的是砖瓦和水泥呢?随便拆可以吗?
砖瓦水泥的特点是什么呢?是“看起来都一样”,也就是这家店和那家店买的砖瓦水泥差不多都长这个样。所以怎么保证拆出来的是砖瓦水泥,就是不管原始建筑(输入)如何,最终拆出来的结果都服从同一个(尽可能简单的)分布,这个分布不依赖于原始输入(比如标准正态分布)。
November 2nd, 2022
十分感谢苏神的blog! 您对网络$\epsilon_\theta$的目标解释为预测噪声$\epsilon_t$十分易懂. 但我对原论文的目标函数还有些疑问. $L_{\text {simple }}(\theta):=\mathbb{E}_{t, \mathbf{x}_{0}, \epsilon}\left[\left\|\epsilon-\epsilon_{\theta}\left(\sqrt{\bar{\alpha}_{t}} \mathbf{x}_{0}+\sqrt{1-\bar{\alpha}_{t}} \epsilon, t\right)\right\|^{2}\right]$
原论文的目标感觉可以解释为预测$x_0$到$x_t$的扩散形式差值$\epsilon$, 那不是推理时可以采样$x_t$后直接网络预测回$x_0$, 为什么要借助$x_{t-1}...x_1$一步步采样得到$x_0$啊?
参考这里:https://kexue.fm/archives/9164#%E9%A2%84%E4%BC%B0%E4%BF%AE%E6%AD%A3
明白了!感谢苏神!
November 5th, 2022
请问DDPM中重缩放是指什么,为什么需要重缩放
我没了解到“重缩放”呢
November 7th, 2022
1、请问式(9)(14)里为什么要把损失的权重系数扔掉呢,各个$t$的模型在一起训练,损失的权重应该很重要吧。
2、请问式(14)里的$w$具体是如何消去的呢?
1、已经说了,是实验结果显示这样叫好,说明DDPM对这个损失权重还是比较鲁棒的;
2、式子上方已经说了,“展开然后将它的期望直接算出来”。
November 10th, 2022
想请教一下具体的训练过程:
1. 文章中提到:“拆楼”是$x_t−1→x_t$的过程,这个过程我们得到很多的数据对$(x_{t−1},x_t)$
是不是就是说正向过程生成了这样的数据对,然后训练其实是在这样的数据对上做的? 是不是每个数据对用一个U-Net来建立模型?
2. 另外一个问题是我们正向生成的时候加的噪声刚开始的时候比较小,后期比较大,但仍然是一个符合高斯分布的噪声,这样对于U-Net,数据对$(x_{t−1},x_t)$是不是过于简单,换句话说很容易达到一个很好的去噪效果+产生过拟合?
3. 关于U-Net,是不是说有多少个$T$步长,就得有$T-1$个U-Net? 换句话说是$T-1$个U-Net串行起来训练? 最后inference的过程是用哪个U-Net呢? 还是说解码(Sampling)过程那个迭代必须一一对应,每个T都用对应的U-Net?
4. 对于每个U-Net,其实输入就是$x_t$,然后网络解码后要尽量像$x_{t−1}$,对吗?
或者说我们知道$ε$的真实值(Ground truth),我们输入$x_t$要得到一个$ε_\theta$尽量接近$ε$,对吗?
1、原理上是可以这样理解,但实际上会有一些差异,就是文章说的方差过大问题,所以需要一些数学技巧降低方差;
2、直觉上是“很容易”,但是“容易”是相对的,而且要看精度的,比如当两张图片的差异只有1%的时候,我可能希望的精度就是0.001%,这未必是一件容易的事情,另外,当图片带噪声比较多时($t$比较大),预测起来也不会太容易,因为图片本身的结构信息丢失不少了;
3、基本对,确实相当于有$T-1$个不同的U-Net,但实际上当然不是训练$T-1$个完全独立的U-Net来实现的,而是同一个共享参数的U-Net,但将$t$也当作输入来区分不同时刻的U-Net;
4、不是“尽量像$\boldsymbol{x}_{t−1}$”,$\boldsymbol{x}_{t−1}$是直接预测的,预测过程没有可以参考对比的$\boldsymbol{x}_{t−1}$。
感谢苏老师的解答,前三个问题我基本理解了,我回去再去看看您关于降低方差的描述。
关于第四个问题(可能我对第三个问题也有一定误解):
对于每个U-Net是如何训练的呢? 我这里的问题不是“预测”,我说的“解码”可能给您造成了误解,我说的是U-Net的编码/解码结构。
我可以理解在模型训练好了之后,通过一系列迭代性的inference,$x_{t−1}$可以被预测出来、直到最后预测出来$x_0$,预测过程我们是没有$x_{t−1}$去参考的。
但是在训练每个U-Net的时候其实是通过“数据对”$(x_{t−1},x_t)$进行学习的,这个时候其实针对U-Net,输入就是$x_t$,然后U-Net的输出是$x_{t−1}$,要尽量像"Ground Truth"的$x_{t−1}$,对吗? 或者说我们知道$ε$的真实值(Ground truth),我们输入$x_t$要得到一个$ε_{\theta}$尽量接近$ε$,对吗?
可能我的理解不对,那请苏老师指点一下这个U-Net网络训练的输入和输出到底是啥呢? 谢谢您!
输入是$\boldsymbol{x}_t$,输出是模型预测的$\boldsymbol{x}_{t-1}$。我不知道你说的尽量像“Ground Truth”是想表达什么意思,如果是朴素的含义,即如果$(\boldsymbol{x}_t, \boldsymbol{x}_{t-1})$是训练集的一对数据,那么输入$\boldsymbol{x}_t$,结果应该跟$\boldsymbol{x}_{t-1}$很接近,那是正确的,但这还用问吗?