AdaX优化器浅析（附开源实现）

这篇文章简单介绍一个叫做AdaX的优化器，来自《AdaX: Adaptive Gradient Descent with Exponential Long Term Memory》。介绍这个优化器的原因是它再次印证了之前在《AdaFactor优化器浅析（附开源实现）》一文中提到的一个结论，两篇文章可以对比着阅读。

Adam & AdaX #

AdaX的更新格式是

$$\begin{equation}\left\{\begin{aligned}&g_t = \nabla_{\theta} L(\theta_t)\\ &m_t = \beta_1 m_{t-1} + \left(1 - \beta_1\right) g_t\\ &v_t = (1 + \beta_2) v_{t-1} + \beta_2 g_t^2\\ &\hat{v}_t = v_t\left/\left(\left(1 + \beta_2\right)^t - 1\right)\right.\\ &\theta_t = \theta_{t-1} - \alpha_t m_t\left/\sqrt{\hat{v}_t + \epsilon}\right. \end{aligned}\right.\end{equation}$$
其中$\beta_2$的默认值是$0.0001$。对了，顺便附上自己的Keras实现：https://github.com/bojone/adax

作为比较，Adam的更新格式是

$$\begin{equation}\left\{\begin{aligned}&g_t = \nabla_{\theta} L(\theta_t)\\ &m_t = \beta_1 m_{t-1} + \left(1 - \beta_1\right) g_t\\ &v_t = \beta_2 v_{t-1} + \left(1 - \beta_2\right) g_t^2\\ &\hat{m}_t = m_t\left/\left(1 - \beta_1^t\right)\right.\\ &\hat{v}_t = v_t\left/\left(1 - \beta_2^t\right)\right.\\ &\theta_t = \theta_{t-1} - \alpha_t \hat{m}_t\left/\sqrt{\hat{v}_t + \epsilon}\right. \end{aligned}\right.\end{equation}$$
其中$\beta_2$的默认值是$0.999$。

等价形式变换 #

可以看到，两者的第一个差别是AdaX去掉了动量的偏置校正（$\hat{m}_t = m_t\left/\left(1 - \beta_1^t\right)\right.$这一步），但这其实影响不大，AdaX最大的改动是在$v_t$处，本来$v_t = \beta_2 v_{t-1} + \left(1 - \beta_2\right) g_t^2$是滑动平均格式，而$v_t = (1 + \beta_2) v_{t-1} + \beta_2 g_t^2$不像是滑动平均了，而且$1 + \beta_2 > 1$，似乎有指数爆炸的风险？原论文称之为“with Exponential Long Term Memory”，就是指$1 + \beta_2 > 1$导致历史累积梯度的比重不会越来越小，反而会越来越大，这就是它的长期记忆性。

事实上，学习率校正用的是$\hat{v}_t$，所以究竟有没有爆炸，我们要观察的是$\hat{v}_t$。对于Adam，我们有

$$\begin{equation}\begin{aligned} \hat{v}_t =& v_t\left/\left(1 - \beta_2^t\right)\right.\\ =&\frac{\beta_2 v_{t-1} + (1-\beta_2) g_t^2}{1 - \beta_2^t}\\ =&\frac{\beta_2 \hat{v}_{t-1}\left(1 - \beta_2^{t-1}\right) + (1-\beta_2) g_t^2}{1 - \beta_2^t}\\ =&\beta_2\frac{1 - \beta_2^{t-1}}{1 - \beta_2^t}\hat{v}_{t-1} + \left(1 - \beta_2\frac{1 - \beta_2^{t-1}}{1 - \beta_2^t}\right)g_t^2 \end{aligned}\end{equation}$$
所以如果设$\hat{\beta}_{2,t}=\beta_2\frac{1 - \beta_2^{t-1}}{1 - \beta_2^t}$，那么更新公式就是
$$\begin{equation}\hat{v}_t =\hat{\beta}_{2,t}\hat{v}_{t-1} + \left(1 - \hat{\beta}_{2,t}\right)g_t^2\end{equation}$$
基于同样的道理，如果设$\hat{\beta}_{2,t}=1 - \frac{\beta_2}{(1 + \beta_2)^t - 1}$，那么AdaX的$\hat{v}_t$的更新公式也可以写成上式。

衰减策略比较 #

所以，从真正用来校正梯度的$\hat{v}_t$来看，不管是Adam还是AdaX，其更新公式都是滑动平均的格式，只不过对应的衰减系数$\hat{\beta}_{2,t}$不一样。

对于Adam来说，当$t=1$时$\hat{\beta}_{2,t}=0$，这时候$\hat{v}_t$就是$g_t^2$，也就是用实时梯度来校正学习率，这时候校正力度最大；当$t\to\infty$时，$\hat{\beta}_{2,t}\to \beta_2$，这时候$v_t$是累积梯度平方与当前梯度平方的加权平均，由于$\beta_2 < 1$，所以意味着当前梯度的权重$1 - \beta_2$不为0，这可能导致训练不稳定，因为训练后期梯度变小，训练本身趋于稳定，校正学习率的意义就不大了，因此学习率的校正力度应该变小，并且$t\to\infty$，学习率最好恒定为常数（这时候相当于退化为SGD），这就要求$t\to\infty$时，$\hat{\beta}_{2,t}\to 1$。

对于AdaX来说，当$t=1$时$\hat{\beta}_{2,t}=0$，当$t\to\infty$，$\hat{\beta}_{2,t}\to 1$，满足上述的理想性质，因此，从这个角度来看，AdaX确实是Adam的一个改进。在AdaFactor中使用的则是$\hat{\beta}_{2,t} =1 - \frac{1}{t^c}$，它也是从这个角度设计的。至于AdaX和AdaFactor的策略孰优孰劣，笔者认为就很难从理论上解释清楚了，估计只能靠实验。

就这样结束了 #

嗯，文章就到这儿结束了。开头就说了，本文只是简单介绍一下AdaX，因为它再次印证了之前的一个结论——$\hat{\beta}_{2,t}$应当满足条件“$\hat{\beta}_{2,1}=0,\hat{\beta}_{2,\infty}=1$”，这也许会成为日后优化器改进的基本条件之一。

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