果壳中的条件随机场(CRF In A Nutshell)

本文希望用尽可能简短的语言把CRF（条件随机场，Conditional Random Field）的原理讲清楚，这里In A Nutshell在英文中其实有“导论”、“科普”等意思（霍金写过一本《果壳中的宇宙》，这里东施效颦一下）。

网上介绍CRF的文章，不管中文英文的，基本上都是先说一些概率图的概念，然后引入特征的指数公式，然后就说这是CRF。所谓“概率图”，只是一个形象理解的说法，然而如果原理上说不到点上，你说太多形象的比喻，反而让人糊里糊涂，以为你只是在装逼。（说到这里我又想怼一下了，求解神经网络，明明就是求一下梯度，然后迭代一下，这多好理解，偏偏还弄个装逼的名字叫“反向传播”，如果不说清楚它的本质是求导和迭代求解，一下子就说反向传播，有多少读者会懂？）

好了，废话说完了，来进入正题。

逐标签Softmax #

CRF常见于序列标注相关的任务中。假如我们的模型输入为$Q$，输出目标是一个序列$a_1,a_2,\dots,a_n$，那么按照我们通常的建模逻辑，我们当然是希望目标序列的概率最大
$$P(a_1,a_2,\dots,a_n|Q)$$
不管用传统方法还是用深度学习方法，直接对完整的序列建模是比较艰难的，因此我们通常会使用一些假设来简化它，比如直接使用朴素假设，就得到
$$P(a_1,a_2,\dots,a_n|Q)=P(a_1|Q)P(a_2|Q)\dots P(a_n|Q)$$
注意这里的Q不一定是原始输入，比如它可能是经过多层LSTM之后的隐藏输出$q_1,q_2,\dots,q_n$，并且我们认为全局的关联已经由前面的模型捕捉完成了，因此在最后一步，我们可以认为特征之间互不相关，那么
$$\begin{aligned}P(a_1|Q)=&P(a_1|q_1,q_2,\dots,q_n)=P(a_1|q_1)\\
P(a_2|Q)=&P(a_2|q_1,q_2,\dots,q_n)=P(a_2|q_2)\\
&\quad\vdots\\
P(a_n|Q)=&P(a_n|q_1,q_2,\dots,q_n)=P(a_n|q_n)\\
\end{aligned}$$
从而
$$P(a_1,a_2,\dots,a_n|Q)=P(a_1|q_1)P(a_2|q_2)\dots P(a_n|q_n)$$
这就得到了我们最常用的方案：直接逐标签输出最大概率的那个标签。而前面的模型通常是多层的双向LSTM。

条件随机场 #

逐标签softmax是一种简单有效的方法，但有时候会出现不合理的结果。比如我们用sbme来做4标签分词时，逐标签softmax无法排除出现bbbb这样的序列的可能性，但这个序列是违反了我们的解码规则（b后面只能接m或e）。因此，有人说逐标签softmax不需要动态规划，那是不对的，这种情况下，我们至少需要一个“非0即1”的转移矩阵，直接把不合理的转移概率设为0（如$P(b|b)=0$），然后通过动态规划保证得到合理的序列。

上述方案会出问题，归根结底就是我们在建模的时候，使用了输出完全独立的朴素假设（一元模型），但我们真实的输出序列又是上下文有关的，因此造成了优化目标与模型假设不吻合。能不能直接把上下文考虑进去呢？很简单，使用二元模型即可。
$$\begin{aligned}P_Q(a_1,a_2,\dots,a_n)=&P_Q(a_1) P_Q(a_2|a_1) P_Q(a_3|a_1,a_2)\dots P_Q(a_n|a_1,\dots,a_{n-1})\\
=&P_Q(a_1) P_Q(a_2|a_1) P_Q(a_3|a_2)\dots P_Q(a_n|a_{n-1})
\end{aligned}$$
这里为了使得表达式更好看一些，我把输入$Q$放到了下标中。这已经很接近CRF了！

继续观察上式，上面是一个转移概率的乘积，然而我们为什么非要定义每一项都是转移概率呢？于是，CRF的做法非常一般，首先它定义了一个函数$f(x,y;Q)$（它可能是一些简单的特征函数之和，但具体的形式其实不重要），然后直接令
$$P_Q(a_1,a_2,\dots,a_n) = \frac{1}{Z}\exp\left(\sum_k f(a_{k-1},a_k;Q)\right)$$
其中$Z$是归一化因子。跟前一式相比，两者的区别在于，$P_Q(a_k|a_{k-1})$是有概率意义的（条件概率），而单项的$e^{f(a_{k-1},a_k;Q)}/Z$是没有概率意义的，所以CRF是更一般的形式。

这就是CRF的全部了。

一个更完整的参考链接：https://zhuanlan.zhihu.com/p/28465510

线性链CRF #

What？你在逗我？这就是CRF？这一个个$P_Q(a_k|a_{k-1})$是什么鬼？还有$f(x,y;Q)$呢？

这位读者，你可问倒我了，我也不知道是什么鬼呀。不信您到再看看网上的一些教程，它们给出的公式大概是这样的（直接抄自这里）：
$$\begin{aligned}p(l | s) =& \frac{\exp[score(l|s)]}{\sum_{l’} \exp[score(l’|s)]} \\
=& \frac{\exp[\sum_{j = 1}^m \sum_{i = 1}^n \lambda_j f_j(s, i, l_i, l_{i-1})]}{\sum_{l’} \exp[\sum_{j = 1}^m \sum_{i = 1}^n \lambda_j f_j(s, i, l’_i, l’_{i-1})]}\end{aligned}$$
这里的$f$都是未知的“特征函数”，需要根据具体问题具体设计，那还不是等价于说是未知的$f(a_{k-1},a_k;Q)$。所以，我确实不知道是什么鬼呀。

好吧，就算你是对的，你好歹也教教我怎么用吧？

这里介绍一个经常用的版本——线性链CRF，它就是tensorflow自带的版本。我们先写出
$$\begin{aligned}&P_Q(a_1,a_2,\dots,a_n)\\
=&P_Q(a_1) P_Q(a_2|a_1) P_Q(a_3|a_2)\dots P_Q(a_n|a_{n-1})\\
=&P_Q(a_1) \frac{P_Q(a_1, a_2)}{P_Q(a_1) P_Q(a_2)} P_Q(a_2) \frac{P_Q(a_2, a_3)}{P_Q(a_2) P_Q(a_3)}P_Q(a_3) \dots \frac{P_Q(a_{n-1}, a_n)}{P_Q(a_{n-1}) P_Q(a_n)} P_Q(a_n)
\end{aligned}$$
是不是感觉还挺好看的？根据CRF的一般思路，我们放弃每一项的概率意义，直接写出
$$\begin{aligned}&P_Q(a_1,a_2,\dots,a_n)\\
=&\frac{1}{Z} \exp \Big[f(a_1;Q)+g(a_1, a_2;Q) + f(a_2;Q) +\dots + g(a_{n-1}, a_n;Q) + f(a_n;Q)\Big]
\end{aligned}$$
所谓线性链，就是直接认为函数$g$实际上跟$Q$没关系，任何情况都共用一个$g(a_{k-1},a_k)$，这样它不过是个待确定的矩阵而已。剩下的则跟逐标签softmax的情形差不多了，认为$f(a_k;Q)\equiv f(a_k;q_k)$。按照极大似然的思想，loss应该取为：
$$\begin{aligned} &-\log P_Q(a_1,a_2,\dots,a_n)\\
=& - \sum_{k=1}^n f(a_k;q_k) - \sum_{k=2}^n g(a_{k-1},a_k) + \log Z
\end{aligned}$$
如果前面模型用双向LSTM来得到特征$q_k$，那么就得到了序列标注任务中最经典的BiLSTM-CRF了。

所以，现在也就不难理解tensorflow中自带的CRF的函数了：
https://github.com/tensorflow/tensorflow/tree/master/tensorflow/contrib/crf

相对于逐标签softmax，CRF不过是换了一个loss罢了，当然，还多了一个互信息矩阵，并且解码的时候需要用到viterbi算法。但这都不重要，因为tensorflow都帮我们写好了。

再设计？ #

线性链CRF可以说是一个化简的模版，我们是不是可能参照这个模版，设计一个改进的CRF？比如，用模型生成一个跟Q有关的互信息矩阵？也许是可能的。

剥开nutshell，才能更好地品尝nut，这就是果壳中的味道了。知其然，知其所以然，一切就没那么神秘了。

（新介绍：https://kexue.fm/archives/5542）

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