昨天一好友问我以下题目，求证：
limn→∞1n+2n+⋯+nnnn=ee−1


将解答过程简单记录一下。

求解 #

首先可以注意到，当n充分大时，
1n+2n+⋯+nnnn=(1n)n+(2n)n+⋯+(nn)n


的主要项都集中在最后面那几项，因此，可以把它倒过来计算
1n+2n+⋯+nnnn=(1n)n+(2n)n+⋯+(nn)n=(nn)n+⋯+(2n)n+(1n)n

而我们有
(n−in)n=(1−in)n

是关于n的增函数，因此有
(n−in)n≤limn→∞(1−in)n=e−i

从而
(nn)n+⋯+(2n)n+(1n)n≤e0+e−1+e−2+⋯=ee−1

恒成立。

另一边，主要是找到(n−in)n的下界估计。我们有
ln[(n−in)n]=nln(1−in)=n[−in−12(in)2−13(in)3−…]

注意到我们有不等式ln(1−x)=−x−12x2−13x3−⋯>−x−x2，当然，这个不等式不是恒成立的，但是它在x较小时成立，可以粗略地估计，它在0≤x≤12时成立，因此，当i≤n2时，就有
ln[(n−in)n]≥n[−in−(in)2]=−i−i2n


或者
(n−in)n≥e−i−i2/n≥e−i(1−i2n)≥e−i−i2n

好了，我们已经知道∑mi=0i2∼m3，故我们只取i<n1/4的部分，也就是说
(nn)n+⋯+(2n)n+(1n)n≥⌊n1/4⌋∑i=0(1−in)n≥⌊n1/4⌋∑i=0(e−i−i2n)=1−e−⌊n1/4⌋−11−e−1−λ⌊n1/4⌋3n

λ是一个常数，我们不需要知道它的具体值。取极限，后一项就为0了，得
limn→∞(1n)n+(2n)n+⋯+(nn)n≥ee−1

结合另一端的不等式，就有
limn→∞(1n)n+(2n)n+⋯+(nn)n=ee−1

整个过程主要就是放缩，而且根据我们的需要随心所欲的放缩——当然，这与题目本身比较弱有关。文中的过程不是最简洁漂亮的，却是相当实用的！

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苏剑林. (Mar. 28, 2015). 《有趣的求极限题：随心所欲的放缩 》[Blog post]. Retrieved from https://spaces.ac.cn/archives/3256

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        title={有趣的求极限题：随心所欲的放缩},
        author={苏剑林},
        year={2015},
        month={Mar},
        url={\url{https://spaces.ac.cn/archives/3256}},
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