∑∞i=0aixi=a0+a1x+a2x2+a3x3+...
最近为了数学竞赛，我研究了有关数列和排列组合的相关问题。由于我讨厌为某个问题而设计专门的技巧，所以我偏爱通用的方法，哪怕过程相对麻烦。因此，我对数学归纳法（递推法）和生成函数法情有独钟。前者只需要列出问题的递归关系，而不用具体分析，最终把问题转移到解函数方程上来。后者则巧妙地把数列an与幂级数∑∞i=0aixi一一对应，巧妙地通过代数运算或微积分运算等得到结果。这里我们不用考虑该级数的敛散性，只需要知道它对应着哪一个“母函数”（母函数展开泰勒级数后得到了级数∑∞i=0aixi）。显然，这两种方法的最终，都是把问题归结为代数问题。

生成函数法首先由拉普拉斯应用到概率中，然后得到推广，成为一种应用广泛的方法。由于使用的是代数方法，因而扩展性非常强。以后会用一定篇幅来和大家探讨生成函数法的应用，不过在这里我们先来研究一个问题：生成函数法一般对应着的是一个无穷级数，那么给出an的通项公式，我们得得出∑∞i=0aixi对应的函数。下面我们要研究的是∑∞n=1nmxn,m∈N+，m是常数。即1mx+2mx2+3mx3+...。

从微积分的知识中，我们已经得到
∞∑n=1n0xn=x+x2+x3+...=11−x−1

并且有
∞∑n=1nmxn=x∞∑n=1nmxn−1=x∞∑n=1d(nm−1xn)dx=x∑∞n=1nm−1xndx

通过这个变换，我们将问题的nm“降次”成了nm−1，沿着这个思想，我们可以得到递推公式。设Tm=∑∞n=1nmxn，则

T1=x1−x


Tm+1=xdTmdx

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苏剑林. (Oct. 16, 2010). 《以自然数幂为系数的幂级数 》[Blog post]. Retrieved from https://spaces.ac.cn/archives/986

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        title={以自然数幂为系数的幂级数},
        author={苏剑林},
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