大气光学质量(Airmass)

天文学中有一个名词Airmass，注意这并非Air mass（空气质量），这是指天顶距等于z的方向上大气光学厚度和天顶方向大气光学厚度之比，我目前也找不到它的中文名称究竟是什么，反正觉得如果译成“大气质量”很怪，就暂且翻译成“大气厚度指数”好了。现在知道它叫做“大气光学质量”了，一般用X表示，如下图中，$X={BC}/{AC}$。

在一片较小的区域内，大气层和地面都可以视为平行平面，这时有一个很好的近似公式：
$$X=\sec z$$
对于现在的中学教材来说，有的读者可能不了解\sec为何物，实际上：$\sec z=\frac{1}{\cos z}$
在60°的时候，airmass约等于2。然而地球是不平坦的，根据不同的精度要求，z的峰值为60-75°。随着天顶角的变大，该公式的准确度迅速降低；该式会在地平线的时候趋于无穷大，而根据实际的弯曲大气情况，airmass通常不会大于40。

实际上，如果不考虑大气折射，把地球看成一个球体，而大气层也视为高度为y的空心球体，只从几何的角度来看，则从天顶角z发出来的光线要穿透的大气厚度为（$R_E$为地球半径）：
$$s=\sqrt{R_E^2 \cos^2 z+2R_E \cdot y+y^2}-R_E \cdot\cos z$$
或者写成
$$s=\sqrt{(R_E +y)^2 - R_E^2 \sin^2 z}-R_E \cdot\cos z$$

但实际中还必须考虑折射等因素，所以很多插值公式便出来了。例如， Young和Irvine于1967年在$X=\sec z$基础上加入了一个修正因子：
$$X=\sec z_t [1-0.0012(\sec^2 z_t -1)]$$
这里的$z_t$是真实的天顶角，也就是修正了大气折射后的天顶角。这样处理后，天顶角z的峰值可以达到80°。但同样随着天顶角的变大准确度也迅速降低；该式会在z=86.6°时达到11.13的最大值，而在地平线的时候趋于负无穷大。

Hardie在1962年使用了$\sec z-1$的多项式来修正：
$$X=\sec z-0.0018167(\sec z-1)-0.002875(\sec z-1)^2 -0.0008083(\sec z-1)^3$$
这提供了高达85°的峰值，不过和上式一样，该式会达到一个最大值，然后在地平线的时候趋于负无穷大。

1966年Rozenberg提出了
$$X=(\cos z+0.025e^{-11\cos z})^{-1}$$
该法在地平线的时候依旧能够得到合理的值（z=90°时airmass约等于40）

Kasten和Young在1989年发展成
$$X=\frac{1}{\cos z+0.50572(96.07995-z)^{-1.6364}}$$
公式在z接近90°仍然相当合理，在地平线时的结果约为38，注意这里的z必须使用角度为单位。

1994年Young得出
$$X=\frac{1.002432\cos^2 z_t + 0.148386\cos z_t + 0.0096467}{\cos^3 z_ t + 0.149864\cos^2 z_t + 0.0102963\cos z_t + 0.000303978}$$
同样$z_t$为真实天顶角。这条公式可以将误差（即使是地平线的结果）控制在0.0037内。

2002年Pickering派生出了公式
$$X=\frac{x}{\sin(h+\frac{244}{165+47h^{1.1}})}$$
h=90°-z

下图的曲线比较了不同的插值公式准确度：

差值公式是从不同的运算过程中导出的近似公式，它只考虑了z这个因素，因为在该问题中，我们只有z这个变量。在一定程度上，插值公式方便了我们的计算。尽管看起来有些公式很麻烦，但对于计算机时代来说，公式的关键是：有效、准确。

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