《方程与宇宙》:二体问题的来来去去(一)
By 苏剑林 | 2010-03-20 | 91031位读者 | 引用为了让大家能够查询到“天体力学”方面的内容,同时锻炼我的表达和计算能力,BoJone构思了《方程与宇宙》这个主题,主要是写一些关于使用数学相对深入地讨论一些天文问题。其实我一直觉得,不用公式是无法完美地描述科学的(当然也不能纯公式),我记得霍金的《时间简史》以及《果壳中的宇宙》等之类的书,都力求不用或者尽可能少用数学公式来表达自己的观点。这种模式对于对于公众来说是很好的,但是对于希望深入研究的朋友来说却难以进行。所以我主张:宇宙是算出来的!
这个主题每一个字都是由BoJone敲击出来的,其中包括引用了《天体力学引论》里面的一些内容,以及加入了BoJone个人的一些见解。由于篇幅长及时间有限问题,BoJone打算分若干次撰写发布,并且尽可能写得通俗一点,力求让有一点微积分基础的朋友就可以弄懂。这里首先发布第一部分。由于时间匆忙等原因,可能会出现一些疏忽,欢迎大家挑错!
【通知转载】国家天文台信息技术类人才招聘
By 苏剑林 | 2010-03-23 | 16856位读者 | 引用文章来源:国家天文台
国家天文台LAMOST大科学工程面向全社会招聘信息技术类人才若干名,主要从事数据密集型天文学研究、数据库设计开发、天文应用软件服务开发、数据处理、数据挖掘、数值模拟、高性能计算、算法优化、网站网页设计维护、天文数据整理与管理、网络科普教育等工作。大天区面积多目标光纤光谱天文望远镜(LAMOST)是一项国家重大科学工程项目。该工程项目于2008年底竣工,2009年6月通过国家验收,正处于观测试运行阶段。LAMOST天文望远镜是我国已建成的最大、最先进的天文观测设备,是世界上光谱观测效率最高的望远镜,4米口径5度视场,每次可观测4000个目标,每晚可观测数万个目标,获得数十GB的数据,每年可获得数TB的科学数据。如何处理、分析、管理、发布、挖掘如此海量的数据,就是诚聘的上述人才所要面临的挑战。
《方程与宇宙》:活力积分和开普勒方程(二)
By 苏剑林 | 2010-03-27 | 55470位读者 | 引用在上一回的讨论中,我们已经解决了大部分的问题,并且表达了找到r或者$\theta$关于时间t的函数的希望。在最后的内容中,我们做了以下工作:
由(7)得到$\dot{\theta}=h/r^2$,代入(6)得到:
$$\ddot{r} -h^2/r^3=-\frac{\mu}{r^2}\tag{10}$$这是一个二阶微分方程,它的解很容易找出,但是这个积分太复杂:
$$\dot{r}\frac{d\dot{r}}{dr}=h^2/r^3-\frac{\mu}{r^2}$$
$\dot{r}d\dot{r}=(h^2/r^3-\frac{\mu}{r^2})dr$,两端积分
$$\dot{r}^2={2\mu}/r-h^2/r^2+K_1\tag{11}$$$$\Rightarrow {dt}/{dr}=\frac{r}{\sqrt{K_1 r^2+2\mu r-h^2}}$$
$t=\int \frac{r}{\sqrt{K_1 r^2+2\mu r-h^2}}dr$
《方程与宇宙》:抛物线与双曲线轨道(三)
By 苏剑林 | 2010-04-03 | 48959位读者 | 引用关于自由落体公式的简单修正
By 苏剑林 | 2010-04-04 | 65366位读者 | 引用自由落体的一般定义是:只考虑吸引天体和被吸引天体的引力因素,忽略其他的运动和大气摩擦等因素,物体从静止(相对于吸引天体)开始接近吸引天体的运动。根据这个定义,假设地球为一个均匀球体,半径为r,质量为M,物体从距离地表h高度处自由落下。求落到地面的时间t,或者根据时间t求h。
令s为t时刻物体左右下落的物体与地表的距离,忽略物体的小质量,那么可以列出微分方程:
$$\frac{d^2 s}{dt^2}=-\frac{GM}{(r+s)^2}\tag{1}$$并且初始条件是$t=0,s=h,\dot{s}=v=0$
在实际应用中,我们不必求出这道微分方程的精确解,因为这个解极其麻烦,在之前曾经讨论过。我们只需要求出一个有足够精确度的近似解就行。
【奥赛之行】非同一般的天文奥赛
By 苏剑林 | 2010-04-18 | 22357位读者 | 引用数值方法解方程之终极算法
By 苏剑林 | 2010-04-04 | 43410位读者 | 引用呵呵,做了一回标题党,可能说得夸张了一点。说是“终极算法”,主要是因为它可以任意提高精度、而且几乎可以应付任何非线性方程(至少理论上是这样),提高精度是已知的迭代式上添加一些项,而不是完全改变迭代式的形式,当然在提高精度的同时,计算量也会随之增大。其理论基础依旧是泰勒级数。
我们考虑方程$x=f(y)$,已知y求x是很容易的,但是已知x求y并不容易。我们考虑把y在$(x_0,y_0)$处展开成x的的泰勒级数。关键是求出y的n阶导数$\frac{d^n y}{dx^n}$。我们记$f^{(n)}(y)=\frac{d^n x}{dy^n}$,并且有
$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{(\frac{dx}{dy})}=f'(y)^{-1}$$
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