17
Mar
你所没有思考过的平行线问题
By 苏剑林 | 2015-03-17 | 35324位读者 | 引用
欧几里得
本文的主题是平行线，了解数学的朋友可能会想我会写有关非欧几何的内容。但这次不是，本文的内容纯粹是我们从小就开始学习的欧氏几何，基于“欧几里得第五公设”（又称平行公设）。但即便是从小就学习的欧氏几何中的平行线，也许里边的很多问题我们都没有思考清楚。因为平行是几何中非常基本的情形，因此，在讨论这种基本命题的时候，相当容易会出现循环论证、甚至本末倒置的情况。
我们从初中开始就被灌输“同位角相等，两直线平行”、“内错角相等，两直线平行”之类的平行线判断法则，当然，还少不了的是“过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行”。但是，这些内容之中，有多少是基本的公理，有多少是可以证明的，该如何证明，我想很多人都理解不清楚，我自己也没有一个很好的答案。那些在初中教授平行线的老师们，估计也没多少个能够把它说清楚的。后来我发现，我居然不会证明“同位角相等，两直线平行”，“欧几里得第五公设”好像并没有告诉我们这个判定法则呀。于是，我翻看了一下初中的数学教科书，发现原来当初“同位角相等，两直线平行”这一判定法则是不加证明地让我们接受的，无怪乎我怎么也想不到关于这一法则的简单的证明...
于是，我想写这篇文章，为大家理解平行线的整个逻辑提供一点参考。
19
Apr
柯西命题：盯着它到显然成立为止！
By 苏剑林 | 2015-04-19 | 43636位读者 | 引用数学分析中数列极限部分，有一个很基本的“柯西命题”：
如果$\lim_{n\to\infty} x_n=a$，则
$$\lim_{n\to\infty}\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}=a$$
本文所要谈的便是这个命题，当然还包括类似的一些题目。
柯西命题的证明
柯西命题的证明并不难，只需要根据极限收敛的定义，由于$\lim_{n\to\infty} x_n=a$，所以任意给定$\varepsilon > 0$，存在足够大的$N$，使得对于任意的$n > N$，都有
$$\left|x_n - a\right| < \varepsilon/2\quad(\forall n > N)$$
2
May
寻求一个光滑的最大值函数
By 苏剑林 | 2015-05-02 | 129286位读者 | 引用在最优化问题中，求一个函数的最大值或最小值，最直接的方法是求导，然后比较各阶极值的大小。然而，我们所要优化的函数往往不一定可导，比如函数中含有最大值函数$\max(x,y)$的。这时候就得求助于其他思路了。有一个很巧妙的思路是，将这些不可导函数用一个可导的函数来近似它，从而我们用求极值的方法来求出它近似的最优值。本文的任务，就是探究一个简单而有用的函数，它能够作为最大值函数的近似，并且具有多阶导数。下面是笔者给出的一个推导过程。
在数学分析中，笔者已经学习过一个关于最大值函数的公式，即当$x \geq 0, y \geq 0$时，我们有
$$\max(x,y)=\frac{1}{2}\left(|x+y|+|x-y|\right)\tag{1}$$
那么，为了寻求一个最大值的函数，我们首先可以考虑寻找一个能够近似表示绝对值$|x|$的函数，这样我们就把问题从二维降低到一维了。那么，哪个函数可以使用呢？
16
Apr
采样定理：有限个点构建出整个函数
By 苏剑林 | 2015-04-16 | 30614位读者 | 引用假设我们在听一首歌，那么听完这首歌之后，我们实际上在做这样的一个过程：耳朵接受了一段时间内的声波刺激，从而引起了大脑活动的变化。而这首歌，也就是这段时间内的声波，可以用时间$t$的函数$f(t)$描述，这个函数的区间是有限的，比如$t\in[0,T]$。接着假设另外一个场景——我们要用电脑录下我们唱的歌。这又是怎样一个过程呢？要注意电脑的信号是离散化的，而声波是连续的，因此，电脑要把歌曲记录下来，只能对信号进行采样记录。原则上来说，采集的点越多，就能够越逼真地还原我们的歌声。可是有一个问题，采集多少点才足够呢？在信息论中，一个著名的“采样定理”（又称香农采样定理，奈奎斯特采样定理）告诉我们：只需要采集有限个样本点，就能够完整地还原我们的输入信号来！
采集有限个点就能够还原一个连续的函数？这是怎么做到的？下面我们来解释这个定理。
任意给定一个函数，一般来说我们都可以将它做傅里叶变换：
$$F(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)e^{i\omega t}dt\tag{1}$$
虽然我们的积分限写了正负无穷，但是由于$f(t)$是有限区间内的函数，所以上述积分区间实际上是有限的。
26
Apr
高斯型积分的微扰展开（三）
By 苏剑林 | 2015-04-26 | 25770位读者 | 引用换一个小参数
比较《高斯型积分的微扰展开（一）》和《高斯型积分的微扰展开（二）》两篇文章，我们可以得出关于积分
$$\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-ax^2-\varepsilon x^4} dx\tag{1}$$
的两个结论：第一，我们发现类似$(4)$式的近似结果具有良好的性质，对任意的$\varepsilon$都能得到一个相对靠谱的近似；第二，我们发现在指数中逐阶展开，得到的级数效果会比直接展开为幂级数的效果要好。那么，两者能不能结合起来呢？
我们将$(4)$式改写成
$$\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-ax^2-\varepsilon x^4} dx\approx\sqrt{\frac{2\pi}{a+\sqrt{a^2+6 \varepsilon}}}=\sqrt{\frac{\pi}{a+\frac{1}{2}\left(\sqrt{a^2+6 \varepsilon}-a\right)}}\tag{6}$$
6
May
记录一次爬取淘宝/天猫评论数据的过程
By 苏剑林 | 2015-05-06 | 168390位读者 | 引用笔者最近迷上了数据挖掘和机器学习，要做数据分析首先得有数据才行。对于我等平民来说，最廉价的获取数据的方法，应该是用爬虫在网络上爬取数据了。本文记录一下笔者爬取天猫某商品的全过程，淘宝上面的店铺也是类似的做法，不赘述。主要是分析页面以及用Python实现简单方便的抓取。
笔者使用的工具如下
Python 3——极其方便的编程语言。选择3.x的版本是因为3.x对中文处理更加友好。
Pandas——Python的一个附加库，用于数据整理。
IE 11——分析页面请求过程（其他类似的流量监控工具亦可）。
剩下的还有requests,re，这些都是Python自带的库。
实例页面（美的某热水器）：http://detail.tmall.com/item.htm?id=41464129793
26
May
胡闹的胜利：将算子引入级数求和
By 苏剑林 | 2015-05-26 | 23730位读者 | 引用在文章《有趣的求极限题：随心所欲的放缩》中，读者“最近倒了”提出了一个新颖的解法，然而这位读者写得并非特别清晰，更重要的是里边的某些技巧似乎是笔者以前没有见过的，于是自行分析了一番，给出了以下解释。
胡闹的结果
假如我们要求级数和
$$\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\frac{A_k}{n^k}$$
这里$A_0=1$。一般而言，我们用下标来标注不同的数，如上式的$A_k,\,k=0,1,2,\dots$，可是有的人偏不喜欢，他们更喜欢用上标来表示数列中的各项，他们把上面的级数写成
$$\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\frac{A^k}{n^k}$$
可能读者就会反对了：这不是胡闹吗，这不是让它跟分母的n的k次幂混淆了吗？可是那人干脆更胡闹一些，把级数写成
$$\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\frac{A^k}{n^k}=\left(1+\frac{A}{n}\right)^n$$
看清楚了吧？他干脆把$A$当作一个数来处理了！太胡闹了，$A$是个什么东西？估计这样的孩子要被老师赶出课堂的了。
可是换个角度想想，似乎未尝不可。
30
May
【备忘】维基百科与DNSCrypt
By 苏剑林 | 2015-05-30 | 44987位读者 | 引用中文维基百科的域名zh.wikipedia.org于5月19日被关键字屏蔽和DNS污染，目前从中国已无法访问中文维基百科，中文维基百科的域名也无法解析出正确的IP地址，而英文维基百科目前未受影响，可以正常访问。
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