1
Oct
低秩近似之路（二）：SVD
By 苏剑林 | 2024-10-01 | 1784位读者 | 引用上一篇文章中我们介绍了“伪逆”，它关系到给定矩阵$M$和$A$（或$B$）时优化目标$\Vert AB - M\Vert_F^2$的最优解。这篇文章我们来关注$A,B$都不给出时的最优解，即
\begin{equation}\mathop{\text{argmin}}_{A,B}\Vert AB - M\Vert_F^2\label{eq:loss-ab}\end{equation}
其中$A\in\mathbb{R}^{n\times r}, B\in\mathbb{R}^{r\times m}, M\in\mathbb{R}^{n\times m},r < \min(n,m)$。说白了，这就是要寻找矩阵$M$的“最优$r$秩近似（秩不超过$r$的最优近似）”。而要解决这个问题，就需要请出大名鼎鼎的“SVD（奇异值分解）”了。虽然本系列把伪逆作为开篇，但它的“名声”远不如SVD，听过甚至用过SVD但没听说过伪逆的应该大有人在，包括笔者也是先了解SVD后才看到伪逆。
接下来，我们将围绕着矩阵的最优低秩近似来展开介绍SVD。
结论初探
对于任意矩阵$M\in\mathbb{R}^{n\times m}$，都可以找到如下形式的奇异值分解（SVD，Singular Value Decomposition）：
\begin{equation}M = U\Sigma V^{\top}\end{equation}
26
Aug
近乎完美地解决MathJax与Marked的冲突
By 苏剑林 | 2024-08-26 | 7473位读者 | 引用在《让MathJax更好地兼容谷歌翻译和延时加载》我们提到Cool Papers加入了MathJax来解析LaTeX公式，不过万万没想到引发了诸多兼容性问题，虽然部分问题纯粹是笔者的强迫症作祟，但一个尽可能完美的解决方案终究是让人赏心悦目的，所以还是愿意在上面花一点心思。
上一篇文章我们已经解决了MathJax与谷歌翻译、延时加载的兼容性，这篇文章我们则来解决MathJax与Marked的冲突。
问题简述
Markdown是一种轻量级标记语言，允许人们使用易读易写的纯文本格式编写文档，可谓是目前最流行的写作语法之一，Cool Papers中的[Kimi]功能，基本上也是按照Markdown语法输出。然而。Markdown并不是直接面向浏览器的语言，面向浏览器的语言叫做HTML，所以在展示给用户之前，有一个Markdown转HTML的过程（渲染）。
6
Sep
“闭门造车”之多模态思路浅谈（三）：位置编码
By 苏剑林 | 2024-09-06 | 14315位读者 | 引用在前面的文章中，我们曾表达过这样的观点：多模态LLM相比纯文本LLM的主要差异在于，前者甚至还没有形成一个公认为标准的方法论。这里的方法论，不仅包括之前讨论的生成和训练策略，还包括一些基础架构的设计，比如本文要谈的“多模态位置编码”。
对于这个主题，我们之前在《Transformer升级之路：17、多模态位置编码的简单思考》就已经讨论过一遍，并且提出了一个方案（RoPE-Tie）。然而，当时笔者对这个问题的思考仅处于起步阶段，存在细节考虑不周全、认识不够到位等问题，所以站在现在的角度回看，当时所提的方案与完美答案还有明显的距离。
因此，本文我们将自上而下地再次梳理这个问题，并且给出一个自认为更加理想的结果。
多模位置
多模态模型居然连位置编码都没有形成共识，这一点可能会让很多读者意外，但事实上确实如此。对于文本LLM，目前主流的位置编码是RoPE（RoPE就不展开介绍了，假设读者已经熟知），更准确来说是RoPE-1D，因为原始设计只适用于1D序列。后来我们推导了RoPE-2D，这可以用于图像等2D序列，按照RoPE-2D的思路我们可以平行地推广到RoPE-3D，用于视频等3D序列。
1
Sep
Decoder-only的LLM为什么需要位置编码？
By 苏剑林 | 2024-09-01 | 14061位读者 | 引用众所周知，目前主流的LLM，都是基于Causal Attention的Decoder-only模型（对此我们在《为什么现在的LLM都是Decoder-only的架构？》也有过相关讨论），而对于Causal Attention，已经有不少工作表明它不需要额外的位置编码（简称NoPE）就可以取得非平凡的结果。然而，事实是主流的Decoder-only LLM都还是加上了额外的位置编码，比如RoPE、ALIBI等。
那么问题就来了：明明说了不加位置编码也可以，为什么主流的LLM反而都加上了呢？不是说“多一事不如少一事”吗？这篇文章我们从三个角度给出笔者的看法：
1、位置编码对于Attention的作用是什么？
2、NoPE的Causal Attention是怎么实现位置编码的？
3、NoPE实现的位置编码有什么不足？
26
Sep
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