从费马大定理谈起(五):n=4
By 苏剑林 | 2014-08-19 | 84185位读者 | 引用从费马大定理谈起(七):费马平方和定理
By 苏剑林 | 2014-08-23 | 28927位读者 | 引用本想着开始准备n=3的证明,但这需要引入Eisenstein整数的概念,而我们已经引入了高斯整数,高斯整数的美妙还没有很好地展示给读者。从n=4的两个证明可以知道,引入高斯整数的作用,是把诸如$z^n-y^n$的式子进行完全分解。然而,这一点并没有给我们展示多少高斯整数的神奇。读者或许已经知道,复分析中很多简单的结果,如果单纯用实数描述出来,便会给人巧夺天工的感觉,在涉及到高斯整数的数论中也是一样。本文就让我们来思考费马平方和定理,以此再领会在高斯整数中处理某些数论问题时的便捷。——我们从费马大定理谈起,但又并不仅仅只谈费马大定理。
费马平方和定理:奇素数$p$可以表示为两个整数的平方和,当且仅当该素数具有$4k+1$的形式,而且不考虑相加顺序的情况下,表示法是唯一的。
最近的很多篇文章都是数论内容,属于纯数学的范畴了,对于很多只爱好物理或应用数学的读者可能会看得头晕了。今天我们来谈些不那么抽象的东西,我们来谈谈风筝,并来分析一下风筝的飞行力学。
爱情就像放风筝,线不能来得太紧,也不能拉得太松,你只会给对方飞翔的空间,他/她始终会回到你身边,因为有一条线系着双方。
风筝,在我们这个地方叫做纸鸢,相信大家童年时一定会放过。笔者小时候放风筝时,已经是小学五年级之前的事了。这个暑假突然童心一起,凭着小时候的回忆,简单做了个风筝来玩,居然真的飞起来了!兴奋之余,与大家分享一下。如今再来放风筝,真心感觉到放风筝也有很多技巧,让风筝飞,还不是件容易的事情呢,真可谓人生处处皆学问呀。上面关于风筝的比喻,正是放风筝的真实写照吧。
风筝可以说是人类摆脱地球重力的最原始尝试吧,跟发射宇宙飞船的火箭不同,风筝是借助风力来抵抗重力,严格来讲,即便是现在的飞机,也离不开这个原理(我们最后会谈到)。简单来讲,风筝就是用轻的支架撑开一个轻盈的平面,然后系上一个线圈。我们简单做一个风筝,只需要一张报纸,两条竹篾和一点透明胶,十分钟内就可以完成一个。当然,现在已经有各种各样的好看的风筝,甚至还有龙形的风筝,但是,自己动手简单做一个风筝,还是相当好玩的。
风筝自然是借助风力飞起来的,可是为什么风筝得用绳子牵着才能飞得更高、绳断了反而掉下来?风大多时,才适合放风筝?飞机又是怎么飞起来的?下面我们试着分析这些问题。
几个有关集合势的“简单”证明
By 苏剑林 | 2014-10-01 | 77414位读者 | 引用我们这学期开设《实变函数》的课程,实变函数的第一章是集合。关于无穷集合的势,有很多异于直觉的结论。这些结论的证明技巧,正是集合论的核心方法。然而,我发现虽然很多结论跟我们的直觉相违背,但是仔细回想,它又没我们想象中那样“离谱”。而我们目前使用的教科书《实变函数论与泛函分析》(曹广福),却没有使用看来简单的证明,反而用一些相对复杂的定理,给人故弄玄虚的感觉。
一、全体实数不能跟全体正整数一一对应
这是集合论中的基本结论之一。证明很简单,如果全体实数可以跟全体正整数一一对应,那么$(0,1)$上的实数就可以跟全体正整数一一对应,把$(0,1)$上的全体实数表示为没有0做循环节的无限小数(比如0.1表示为0.0999...),那么设一种对应为:
$$\begin{aligned}&a_1=0.a_{11} a_{12} a_{13} a_{14}\dots\\
&a_2=0.a_{21} a_{22} a_{23} a_{24}\dots\\
&a_3=0.a_{31} a_{32} a_{33} a_{34}\dots\\
&\dots\dots
\end{aligned}$$
班门弄斧:Python的代码能有多简洁?
By 苏剑林 | 2014-10-07 | 27177位读者 | 引用从费马大定理谈起(十):x^3+y^3=z^3+w^3
By 苏剑林 | 2014-10-10 | 23054位读者 | 引用在正式开始数学之前,我们不妨先说一个关于印度著名数学天才——拉马努金的轶事。拉马努金病重,哈代前往探望。哈代说:“我乘出租车来,车牌号码是1729,这数真没趣,希望不是不祥之兆。”拉马努金答道:“不,那是个有趣得很的数。可以用两个立方之和来表达而且有两种表达方式的数之中,1729是最小的。”(即$1729 = 1^3+12^3 = 9^3+10^3$,后来这类数称为的士数。)利特尔伍德回应这宗轶闻说:“每个整数都是拉马努金的朋友。”(来自维基百科)
从这则轶事中,我们发现,确实存在的某些整数,可以表示为两种不同的立方和,换句话说,不定方程:
$$x^3+y^3=z^3+w^3$$
实数集到无理数集的双射
By 苏剑林 | 2014-09-22 | 34504位读者 | 引用集合论的结果告诉我们,全体实数的集合$\mathbb{R}$跟全体无理数的集合$\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$是等势的,那么,如何构造出它们俩之间的一个双射出来呢?这是一个颇考读者想象力的问题。当然,如果把答案给出来,又似乎显得没有那么神秘。下面给出笔者构造的一个例子,读者可以从中看到这种映射是怎么构造的。
为了构造这样的双射,一个很自然的想法是,让全体有理数和部分无理数在它们自身内相互映射,剩下的无理数则恒等映射。构造这样的一个双射首先得找出一个函数,它的值只会是无理数。要找到这样的函数并不难,比如我们知道:
1、方程$x^4 + 1 = y^2$没有除$x=0,y=\pm 1$外的有理点,否则将与费马大定理$n=4$时的结果矛盾。
2、无理数的平方根依然是无理数。
根据这些信息,足以构造一个正实数$\mathbb{R}^+$到正无理数$\mathbb{R}^+ \backslash \mathbb{Q}^+$的双射,然后稍微修改一下,就可以得到$\mathbb{R}$到$\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$的双射。
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