科学空间|Scientific Spaces

不知道各位读者还记得BoJone在《方程与宇宙》这一章中写了整整三篇文章来学习天体力学中的二体问题吗？虽然对二体问题基本上做了一个描述，但是依旧是冰山一角。而在最近写的几篇文章中，BoJone又强调了“向量”的巨大作用。那么，当天体力学与向量碰头后，会发生什么大事呢？难道，火星撞上了地球？

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坐标旋转

如图，坐标(x,y)绕点(p,q)逆时针旋转θ角后得到坐标(x',y')，求x',y'关于x,y的表达式。

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关于行星留的周期的计算，我们之前已经讨论过这个问题，利用的是微积分的方法。也许不少还没有高数基础的朋友会感到很头晕，因此在这里给出一个从几何方面讨论的推导。

关于留，很多人认为就是行星相对于地球的速度为0的时刻，其实这个说法稍欠准确，严格来讲应该要将速度改为“角速度”或“切向速度”（天文的切向就是指与视线方向垂直的方向）。实际的运动中，没有哪一瞬间行星相对于地球的运动速度是为0的。根据这句话，我们可以作出下面的图（依旧只考虑正圆运动）：

行星留-运动分析

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很多读者都知道，反射望远镜、射电望远镜、太阳能集热器等都有一个抛物状的面，它们都是利用了抛物面能将平行射入的光汇聚到一个点（焦点）上的性质。如果问为什么抛物面具有此性质，相信很多高中生都可以利用抛物线的相关知识来证明。但是，如果反过来问：为什么具有此性质的曲面是抛物面？相信会难倒一部分读者。我们来尝试寻找这一曲线（由于对称的原因，这个曲面可以看作由曲线旋转而成，因此我们可以研究曲线）。

世上最大单孔径射电望远镜

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在《为什么是抛物线？——聚光面研究》这篇文章里头，我们从光学性质出发，推导出了符合该光学性质的曲线为抛物线，同时我们也不禁感到了向量分析的美妙。也许有的读者会意犹未尽：圆锥曲线有三种，文章只介绍了一种。那好，在这篇文章里，我们就从另外两个光学性质出发，推导出符合这两个光学性质的曲线（椭圆、双曲线）。

（注：在下面的描述中，橙色加粗向量表示光线，曲线表示反射面。）

一、从一个点发出的光线经过曲线（面）反射后汇集到另外一个点上。

椭圆的光学性质

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相信高二理科的学生都会做过这样的一道题目：

光滑导轨-电磁感应

水平放置于匀强磁场中的光滑导轨上，磁感应强度为B，平衡导轨的距离为L，有一根导体棒ab，用恒力F作用在ab上，由静止开始运动，回路总电阻为R，求ab的最大速度。

对于高二学生来说，这样的题目是很好解决的。只要列出
$E=BLv,I=\frac{E}{R},f_1=BIL$，并根据当匀速运动时速度最大，由受力平衡有$f_1=F$，解得
（E：感应电动势；I：感应电流；f₁：安培力）
$$v=\frac{FR}{B^2 L^2}$$

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考完昨天下午的英语，就收拾东西回家，开始寒假之旅...

不论如何，假日的日子总是需要珍惜，尤其这是高中阶段最后一个长假了。

这个假期把心思放到英语和常微分方程上，重点研究一些特殊性的三体问题，如周期解、共线解等。希望读者多多支持，呵呵！还有抽多点时间来与各位天文爱好者交流天文，以及更新整理一下天文奥赛网。

加油！BoJone.

刘徽

话说当年我国古代数学家刘徽创立“割圆术”计算圆周率的事迹，在今天已被不少学生知晓；虽不能说家喻户晓，但是也为各教科书以及老师津津乐道。和古希腊的“数学之神”阿基米德同出一辙，刘徽也是使用圆的内接、外切正多边形来逼近圆形的；不一样的是，刘徽使用的方法是计算半径为1的圆的内接、外切正多边形的面积，而阿基米德计算的则是直径为1的圆的内接、外切正多边形的周长。两者的计算效果有什么区别呢？其实阿基米德的方法应该更快一点，阿基米德算到正n边形所得到的值，相当于刘徽算到正2n边形了。

在此我们不再对两者的计算方法进行区分，因为两者的本质都是一样的。按照现代数学的写法，“割圆术”的理论依据是
$$lim_{n\to \infty} n \sin(\frac{\pi}{n})=\pi\tag{1}$$
当然，刘徽不可能有现代计算正弦函数值的公式（现在计算正弦函数值一般用泰勒级数展开，而泰勒级数展开需要用到$\pi$的值），甚至在他那个时代就连笔墨也没有，据我所知即使是后来的祖冲之推算圆周率时，唯一的计算工具也只是现在称为“算筹”的小棍。不过刘徽还是凭借着超强的毅力，利用递推的方法逐步求圆周率。

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