四次方程的根式求解(通俗版)
By 苏剑林 | 2009-09-06 | 44008位读者 | 引用【NASA每日一图】水星上的双环陨石坑
By 苏剑林 | 2009-10-07 | 20743位读者 | 引用科学空间:2010年3月重要天象
By 苏剑林 | 2010-02-28 | 22239位读者 | 引用3月份,大地回暖,春暖花开了,精彩的天象在等着我们。这个月天空的主角无疑是美丽的土星,火星和金星也是较好的观测对象。而且3月又正值梅西叶马拉松的好时节,许多有趣、朦胧的深空天体,无疑会极大地挑起我们对神秘的春夜星空的兴趣。这里有一本《梅西叶马拉松全年指导手册》电子书,新手不妨作为入门的参考书。
梅西叶马拉松是一个自我挑战性相对较强的活动,因为虽然一夜之间所有的梅西耶天体全都亮相,但是因为升起的时间相差很多,有些天体的角度就很低了,并不十分适宜观测,况且一夜之间观测103个天体,即使对星空和器材性能非常熟悉,也需要相当时间(当然啦,你如果有电动赤道仪和导星输入的话,就很简单拉),这会是一个非常辛苦的活动,需要充分准备。 爱好挑战困难者,上吧,探索我们的宇宙!
(原创)切抛物线法解方程
By 苏剑林 | 2010-03-06 | 32014位读者 | 引用牛顿法使用的是函数切线的方程的零点来逼近原函数的零点,他所使用的是“切直线”,要是改为同曲率的“切抛物线”,则有更稳定的收敛效果以及更快的收敛速度
设函数$y=f(x)$在$(x_0,y_0)$处有一条“切抛物线”$y=ax^2+bx+c$,则应该有
$a(x_0+\Delta x)^2+b(x_0+\Delta x)+c=f(x_0+\Delta x)$-------(A)
$ax_0^2+bx_0+c=f(x_0)$-------(B)
$a(x_0-\Delta x)^2+b(x_0-\Delta x)+c=f(x_0-\Delta x)$-------(C)
其中$lim_{\Delta x->0}$
三次方程的三角函数解法
By 苏剑林 | 2010-08-08 | 82693位读者 | 引用对于解方程,代数学家希望能够从理论上证明解的存在性以及解的求法,所以就有了1到4次方程的求根公式、5次及以上的代数方程没有根式可解等重要理论;然而,通常的学者(如物理学家、天文学家)都不需要这些内容,他们只关心如何尽可能快地求出指定方程的根(尤其是实数根),所以他们通常关注的是方程的数值算法,当然,如果能有一个相对简单的求根公式,也是他们所希望的。而接下来所要介绍的内容,则是满足了这一需要的三次方程的求根公式,其中用到的相当一部分的理论,是与三角函数相关的。
储备
\begin{equation}\frac{2}{\tan 2A}=\frac{1}{\tan A}-\tan A\end{equation}
\begin{equation}\frac{2}{\sin 2A}=\frac{1}{\tan A}+\tan A\end{equation}
\begin{equation}\cos(3A)=4\cos^3 A-3\cos A\end{equation}
科学空间:2010年9月重要天象
By 苏剑林 | 2010-08-30 | 20582位读者 | 引用《自然极值》系列——8.极值分析
By 苏剑林 | 2010-12-26 | 45140位读者 | 引用本篇文章是《自然极值》系列最后一篇文章,估计也是2010年最后一篇文章了。在这个美好的2010年,想必大家一定收获匪浅,BoJone也在2010年成长了很多。在2010年的尾声,BoJone和科学空间都祝大家在新的一年里更加开心快乐,在科学的道路上更快速地前行。
在本文,BoJone将与大家讨论求极值的最基本原理。这一探讨思路受到了天才的费恩曼所著《费恩曼物理讲义》的启迪。我们分别对函数求极值(求导)和泛函数极值(变分)进行一些简略的分析。
一、函数求极值
对于一个函数$y=f(x)$,设想它在$x=x_0$处取到最大值,那么显然对于很小的增量$\Delta x$,有
$$f(x_0+\Delta x) \leq f(x_0)\tag{3}$$根据泰勒级数,我们有
$f(x_0+\Delta x)=f(x_0)+f'(x_0)\Delta x$————(4)
科学空间:2011年3月重要天象
By 苏剑林 | 2011-03-05 | 29491位读者 | 引用几颗经典行星,将成为3月星空剧场的主角。其中难得一见的水星将迎来一次观测条件很好的东大距,而到了下旬,土星也几乎整夜可见。随着落下时间的逐渐提前,木星的观测条件正逐渐变差。作为晨星的金星升起的时间也正不断推迟,我们将越来越难观测到它的身影。
天象大观
01日 11:40 金星合月: 1.7° S
11日 12:35 月合昴宿星团: 1.8° N
16日 04:16 水星合木星: 2° N
21日 07:21 春分
21日 19:00 月合角宿一: 2.5° N
21日 19:54 天王星合日
23日 08:59 水星大距: 18.6° E
31日 21:25 金星合月: 6.6° S
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