科学空间|Scientific Spaces

前两篇文章《重新思考学习率与Batch Size（一）：现状》和《重新思考学习率与Batch Size（二）：平均场》中，我们主要是提出了平均场方法，用以简化学习率与Batch Size的相关计算。当时我们分析的优化器是SGD、SignSGD和SoftSignSGD，并且主要目的是简化，本质上没有新的结论。

然而，在如今的优化器盛宴中，怎能少得了Muon的一席之地呢？所以，这篇文章我们就来尝试计算Muon的相关结论，看看它的学习率与Batch Size的关系是否会呈现出新的规律。

基本记号

众所周知，Muon的主要特点就是非Element-wise的更新规则，所以之前在《当Batch Size增大时，学习率该如何随之变化？》和《Adam的epsilon如何影响学习率的Scaling Law？》的Element-wise的计算方法将完全不可用。但幸运的是，上篇文章介绍的平均场依然好使，只需要稍微调整一下细节。

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上文《重新思考学习率与Batch Size（一）：现状》末尾我们说到，对于SignSGD、SoftSignSGD等$\tilde{\boldsymbol{\varphi}}_B$非线性依赖于$\tilde{\boldsymbol{g}}_B$的情形，计算过程的心智负担相当沉重，并且面临难以推广的困境。为此，笔者投入了一些精力去尝试简化其中的推导，万幸有些许收获，其中的关键思路便是本文的主题——平均场。

平均场是物理中常见的近似计算方法，它没有固定的形式，但大体思想就是将求平均移到函数之内。事实上，在《为什么Adam的Update RMS是0.2？》中我们就已经窥见过平均场的魅力，而在这篇文章中，我们再来见识它在计算SignSGD/SoftSignSGD的学习率规律上的奇效。

方法大意

沿着上文的记号，对于SignSGD我们有$\newcommand{sign}{\mathop{\text{sign}}}\tilde{\boldsymbol{\varphi}}_B=\sign(\tilde{\boldsymbol{g}}_B)$，我们需要先计算$\mathbb{E}[\tilde{\boldsymbol{\varphi}}_B]$和$\mathbb{E}[\tilde{\boldsymbol{\varphi}}_B\tilde{\boldsymbol{\varphi}}_B^{\top}]$，继而可以算出
\begin{equation}\newcommand{tr}{\mathop{\text{tr}}}\eta^* \approx \frac{\mathbb{E}[\tilde{\boldsymbol{\varphi}}_B]^{\top}\boldsymbol{g}}{\tr(\mathbb{E}[\tilde{\boldsymbol{\varphi}}_B\tilde{\boldsymbol{\varphi}}_B^{\top}]\boldsymbol{H})}\label{eq:eta-opt}\end{equation}

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众所周知，我们很早就开始尝试将Muon用于大规模LLM的训练。特别地，在《Muon续集：为什么我们选择尝试Muon？》中，我们提出了“Match Adam Update RMS”的技巧，以便快速从Adam迁移到Muon上，这个技巧同样用到了Kimi K2的训练中。该技巧是指将Muon的Update RMS统一成0.2，这使得我们复用Adam的学习率和权重衰减率。

这一技巧的背后，是我们观察到Adam的Update RMS约等于0.2，并且这一现象是稳定且可复现的。这便引发了一个有趣的问题：为什么Adam的Update RMS是0.2？我们可以从理论上解释它吗？

问题引入

首先描述一下现象：从实验中我们观察到，大致上在Warmup结束、模型进入正式训练后，Adam的Update RMS几乎都保持在0.2～0.3之间，并且不同尺寸的模型也呈现出相似的规律。这些模型的共同点是都用Adam训练，参数是$\beta_1=0.9,\beta_2=0.95$。由于共性很明显，所以这大概率不是巧合，因此笔者尝试分析背后的原理。

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在之前的文章《当Batch Size增大时，学习率该如何随之变化？》和《Adam的epsilon如何影响学习率的Scaling Law？》中，我们从理论上讨论了学习率随Batch Size的变化规律，其中比较经典的部分是由OpenAI提出的展开到二阶的分析。然而，当我们要处理非SGD优化器时，这套分析方法的计算过程往往会相当复杂，有种无从下手的感觉。

接下来的几篇文章，笔者将重新整理和思考上述文章中的相关细节，尝试简化其中的一些推导步骤，给出一条更通用、更轻盈的推导路径，并且探讨推广到Muon优化器的可能性。

方法大意

首先回顾一下之前的分析方法。在《当Batch Size增大时，学习率该如何随之变化？》中，我们介绍了多种分析学习率与Batch Size规律的思路，其中OpenAI在《An Empirical Model of Large-Batch Training》提出的二阶近似分析占了主要篇幅，本文也是沿用同样的思路。

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看完了前三篇的读者，想必已经熟悉本系列的“套路”——先提出更新量的约束，寻找最速下降方向，接着再给参数也加上约束，寻找新的最速下降方向。在求解参数约束问题时，我们采用的是“一阶近似够用”原则来简化约束形式，这在几何上对应于“切空间”。然后，我们用待定系数法转化无约束形式来写出解析解，最后再数值求解待定系数。

这篇文章我们再来求解一个新例子——谱球面约束下的Muon——它是第一篇文章《流形上的最速下降：1. SGD + 超球面》的类比推广，当我们希望参数的谱范数始终不变时可以考虑它。当然，也可以单纯作为一道练习题来练手。

问题描述

在《流形上的最速下降：2. Muon + 正交》和《流形上的最速下降：3. Muon + Stiefel》中，我们已经详细讨论了Muon与正交约束的碰撞，所以相关背景我们就不展开了，直接给出问题形式：
\begin{equation}\newcommand{tr}{\mathop{\text{tr}}}\max_{\boldsymbol{\Phi}} \tr(\boldsymbol{G}^{\top}\boldsymbol{\Phi}) \qquad \text{s.t.}\qquad \Vert\boldsymbol{\Phi}\Vert_2 = 1,\,\, \Vert\boldsymbol{W}\Vert_2 = 1,\,\,\Vert\boldsymbol{W} - \eta \boldsymbol{\Phi}\Vert_2=1\end{equation}

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今天水一点轻松的内容，它基于笔者这两天意识到的一个恒等式。这个恒等式实际上很简单，但初看之下会有点意料之外的感觉，所以来记录一下。

基本结果

我们知道$\newcommand{relu}{\mathop{\text{relu}}}\relu(x) = \max(x, 0)$，容易证明如下恒等式
\begin{equation}x = \relu(x) - \relu(-x)\end{equation}
如果$x$是一个向量，那么上式就更直观了，$\relu(x)$是提取出$x$的正分量，$- \relu(-x)$是提取出$x$的负分量，两者相加就得到原本的向量。

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上回说到，当我们把优化对象从向量参数转移到矩阵参数，并选用更适合矩阵的谱范数约束后，Muon优化器便自然而然地出现了。进一步地，我们考虑了给参数加上正交约束后的最速下降方向，这其中又分方阵和非方阵两部分讨论，其中方阵的求解我们在上一篇文章已经完成，但非方阵部分依然悬而未决。

本文的目标，则是把非方阵部分的求解补上，使得正交约束下的优化得以完全解决。

任务信息

先简单回顾一下上文《流形上的最速下降：2. Muon + 正交》的结果。我们要求解的目标是
\begin{equation}\newcommand{tr}{\mathop{\text{tr}}}\max_{\boldsymbol{\Phi}} \tr(\boldsymbol{G}^{\top}\boldsymbol{\Phi}) \qquad \text{s.t.}\qquad \Vert\boldsymbol{\Phi}\Vert_2 = 1,\,\, \boldsymbol{W}^{\top}\boldsymbol{W}=\boldsymbol{I},\,\,(\boldsymbol{W} - \eta \boldsymbol{\Phi})^{\top}(\boldsymbol{W} - \eta \boldsymbol{\Phi})=\boldsymbol{I}\end{equation}

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本文继续我们的约束优化系列。在上文《流形上的最速下降：1. SGD + 超球面》中，我们重温了优化器的“最小作用量”原理，提出不同优化器的核心差异在于给更新量施加的不同约束，如果这个约束是欧几里得范数，那么对应的最速下降便是SGD。进一步地，我们还讨论了同时给参数增加模长约束后的结果，这构成了超球面流形上的最速下降。

不过，上文只能算是“热身”，因为它处理的是相对简单的向量参数优化。本文正式进入更具挑战性的部分——优化参数从向量变成矩阵，并且增量约束改为谱范数，由此衍生出Muon优化器；接着，我们再给参数添加正交约束，这将得到正交流形下的Muon优化器。

命题描述

设待优化参数具有矩阵形式$\boldsymbol{W}\in\mathbb{R}^{n\times m}$，不失一般性，设$n\geq m$。根据上一篇文章的“最小作用量”原理，我们得出最速下降的增量$\Delta\boldsymbol{W}$应该满足
\begin{equation}\min_{\Delta \boldsymbol{W}} \mathcal{L}(\boldsymbol{W} +\Delta\boldsymbol{W}) \qquad \text{s.t.}\qquad \rho(\Delta\boldsymbol{W})\leq \eta\end{equation}

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