代数基本定理：任何一个一元复系数多项式都至少有一个复数根。也就是说，复数域是代数封闭的。

虽说这有其名，但却无其实，它并不是最基本的代数定理；因为在那个时候，代数基本上就是关于解实系数或复系数多项式方程，所以才被命名为代数基本定理(Fundamental theorem of algebra)。

建立在此前提上，我们可以推出：

一元复系数n次代数方程在复数范围内都有n个根（有可能是共轨复根）。

其中用到了数学归纳法以及多项式的“除法”，证明如下：
已知一元一次方程有1个根，一元n次方程至少有1个根。假设(n-1)次方程有(n-1)个根，求证n次方程有n个根。

设函数$f(x)=a_0+a_1 x^1+...+a_n x^n$
我们求一下：$\frac{f(x)}{x-x_1}$，其中$x_1$是预先给定的常数。运算的过程可以类似于我们做数字的除法：

多项式除法计算过程

多项式除法计算过程

最终，我们的结果为：
$$\begin{aligned}f(x)=a_0+a_1 x^1+...+a_n x^n \\ =(x-x_1)[a_n x^{n-1}+(a_{n-1}+a_n x_1)x^{n-2}+...+(a_1+a_2 x_1+...+a_n x_1^{n-1})]+a_0+a_1 x_1^1+...+a_n x_1^n\end{aligned}$$

令$x_1$是方程$a_0+a_1 x^1+...+a_n x^n=0$的一个根，于是
$$\begin{aligned}a_0+a_1 x^1+...+a_n x^n \\ =(x-x_1)[a_n x^{n-1}+(a_{n-1}+a_n x_1)x^{n-2}+...+(a_1+a_2 x_1+...+a_n x_1^{n-1})]\end{aligned}$$

那么满足$a_n x^{n-1}+(a_{n-1}+a_n x_1)x^{n-2}+...+(a_1+a_2 x_1+...+a_n x_1^{n-1})=0$的解也是方程的$f(x)=0$的根，这方程有(n-1)个根，加上$x=x_1$，那么$f(x)=0$总共有n个根。

证毕。

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苏剑林. (Feb. 27, 2010). 《“n次方程有n个根”的证明 》[Blog post]. Retrieved from https://spaces.ac.cn/archives/481

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        title={“n次方程有n个根”的证明},
        author={苏剑林},
        year={2010},
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