VQ的又一技巧:给编码表加一个线性变换
By 苏剑林 | 2024-11-06 | 2219位读者 | 引用在《VQ的旋转技巧:梯度直通估计的一般推广》中,我们介绍了VQ(Vector Quantization)的Rotation Trick,它的思想是通过推广VQ的STE(Straight-Through Estimator)来为VQ设计更好的梯度,从而缓解VQ的编码表坍缩、编码表利用率低等问题。
无独有偶,昨天发布在arXiv上的论文《Addressing Representation Collapse in Vector Quantized Models with One Linear Layer》提出了改善VQ的另一个技巧:给编码表加一个线性变换。这个技巧单纯改变了编码表的参数化方式,不改变VQ背后的理论框架,但实测效果非常优异,称得上是简单有效的经典案例。
低秩近似之路(四):ID
By 苏剑林 | 2024-10-30 | 3071位读者 | 引用这篇文章的主角是ID(Interpolative Decomposition),中文可以称之为“插值分解”,它同样可以理解为是一种具有特定结构的低秩分解,其中的一侧是该矩阵的若干列(当然如果你偏好于行,那么选择行也没什么问题),换句话说,ID试图从一个矩阵中找出若干关键列作为“骨架”(通常也称作“草图”)来逼近原始矩阵。
可能很多读者都未曾听说过ID,即便维基百科也只有几句语焉不详的介绍(链接),但事实上,ID跟SVD一样早已内置在SciPy之中(参考scipy.linalg.interpolative),这侧面印证了ID的实用价值。
基本定义
前三篇文章我们分别介绍了伪逆、SVD、CR近似,它们都可以视为寻找特定结构的低秩近似:
\begin{equation}\mathop{\text{argmin}}_{\text{rank}(\tilde{\boldsymbol{M}})\leq r}\Vert \tilde{\boldsymbol{M}} - \boldsymbol{M}\Vert_F^2\end{equation}
VQ的旋转技巧:梯度直通估计的一般推广
By 苏剑林 | 2024-10-24 | 6472位读者 | 引用随着多模态LLM的方兴未艾,VQ(Vector Quantization)的地位也“水涨船高”,它可以作为视觉乃至任意模态的Tokenizer,将多模态数据统一到自回归生成框架中。遗憾的是,自VQ-VAE首次提出VQ以来,其理论并没有显著进步,像编码表的坍缩或利用率低等问题至今仍亟待解决,取而代之的是FSQ等替代方案被提出,成为了VQ有力的“竞争对手”。
然而,FSQ并不能在任何场景下都替代VQ,所以VQ本身的改进依然是有价值的。近日笔者读到了《Restructuring Vector Quantization with the Rotation Trick》,它提出了一种旋转技巧,声称能改善VQ的一系列问题,本文就让我们一起来品鉴一下。
回顾
早在五年前的博文《VQ-VAE的简明介绍:量子化自编码器》中我们就介绍过了VQ-VAE,后来在《简单得令人尴尬的FSQ:“四舍五入”超越了VQ-VAE》介绍FSQ的时候,也再次仔细地温习了VQ-VAE,还不了解的读者可以先阅读这两篇文章。
Cool Papers浏览器扩展升级至v0.2.0
By 苏剑林 | 2024-10-16 | 6527位读者 | 引用年初,我们在《更便捷的Cool Papers打开方式:Chrome重定向扩展》中发布了一个Chrome浏览器插件(Cool Papers Redirector v0.1.0),可以通过右击菜单从任意页面中重定向到Cool Papers中,让大家更方便地获取Kimi对论文的理解。前几天我们把该插件升级到了v0.2.0,并顺利上架到了Chrome应用商店中,遂在此向大家推送一下。
更新汇总
相比旧版v0.1.0,当前版v0.2.0的主要更新内容如下:
1、右键菜单跳转改为在新标签页打开;
2、右键菜单支持同时访问多个论文ID;
3、右键菜单支持PDF页面;
4、右键菜单新增更多论文源(arXiv、OpenReview、ACL、IJCAI、PMLR);
5、右键菜单在搜索不到论文ID时,转入站内搜索(即划词搜索);
6、在某些网站的适当位置插入快捷跳转链接(arXiv、OpenReview,ACL)。
让MathJax的数学公式随窗口大小自动缩放
By 苏剑林 | 2024-10-15 | 5032位读者 | 引用随着MathJax的出现和流行,在网页上显示数学公式便逐渐有了标准答案。然而,MathJax(包括其竞品KaTeX)只是负责将网页LaTeX代码转化为数学公式,对于自适应分辨率方面依然没有太好的办法。像本站一些数学文章,因为是在PC端排版好的,所以在PC端浏览效果尚可,但转到手机上看就可能有点难以入目了。
经过测试,笔者得到了一个方案,让MathJax的数学公式也能像图片一样,随着窗口大小而自适应缩放,从而尽量保证移动端的显示效果,在此跟大家分享一波。
背景思路
这个问题的起源是,即便在PC端进行排版,有时候也会遇到一些单行公式的长度超出了网页宽度,但又不大好换行的情况,这时候一个解决方案是用HTML代码手动调整一下公式的字体大小,比如
<span style="font-size:90%">
\begin{equation}一个超长的数学公式\end{equation}
</span>
低秩近似之路(三):CR
By 苏剑林 | 2024-10-11 | 7287位读者 | 引用在《低秩近似之路(二):SVD》中,我们证明了SVD可以给出任意矩阵的最优低秩近似。那里的最优近似是无约束的,也就是说SVD给出的结果只管误差上的最小,不在乎矩阵的具体结构,而在很多应用场景中,出于可解释性或者非线性处理等需求,我们往往希望得到具有某些特殊结构的近似分解。
因此,从这篇文章开始,我们将探究一些具有特定结构的低秩近似,而本文将聚焦于其中的CR近似(Column-Row Approximation),它提供了加速矩阵乘法运算的一种简单方案。
问题背景
矩阵的最优$r$秩近似的一般提法是
\begin{equation}\mathop{\text{argmin}}_{\text{rank}(\tilde{\boldsymbol{M}})\leq r}\Vert \tilde{\boldsymbol{M}} - \boldsymbol{M}\Vert_F^2\label{eq:loss-m2}\end{equation}
低秩近似之路(二):SVD
By 苏剑林 | 2024-10-01 | 10183位读者 | 引用上一篇文章中我们介绍了“伪逆”,它关系到给定矩阵$\boldsymbol{M}$和$\boldsymbol{A}$(或$\boldsymbol{B}$)时优化目标$\Vert \boldsymbol{A}\boldsymbol{B} - \boldsymbol{M}\Vert_F^2$的最优解。这篇文章我们来关注$\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}$都不给出时的最优解,即
\begin{equation}\mathop{\text{argmin}}_{\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}}\Vert \boldsymbol{A}\boldsymbol{B} - \boldsymbol{M}\Vert_F^2\label{eq:loss-ab}\end{equation}
其中$\boldsymbol{A}\in\mathbb{R}^{n\times r}, \boldsymbol{B}\in\mathbb{R}^{r\times m}, \boldsymbol{M}\in\mathbb{R}^{n\times m},r < \min(n,m)$。说白了,这就是要寻找矩阵$\boldsymbol{M}$的“最优$r$秩近似(秩不超过$r$的最优近似)”。而要解决这个问题,就需要请出大名鼎鼎的“SVD(奇异值分解)”了。虽然本系列把伪逆作为开篇,但它的“名声”远不如SVD,听过甚至用过SVD但没听说过伪逆的应该大有人在,包括笔者也是先了解SVD后才看到伪逆。
接下来,我们将围绕着矩阵的最优低秩近似来展开介绍SVD。
结论初探
对于任意矩阵$\boldsymbol{M}\in\mathbb{R}^{n\times m}$,都可以找到如下形式的奇异值分解(SVD,Singular Value Decomposition):
\begin{equation}\boldsymbol{M} = \boldsymbol{U}\boldsymbol{\Sigma} \boldsymbol{V}^{\top}\end{equation}
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