当二次型在二维平面的情况下时，就等价于二次曲线的化简。二次曲线的化简主要用到平移和旋转，这恰好是复数所“擅长”的。因此，以复数为工具来对二次曲线进行化简，似乎是一种很显然的思路。然而，我却没有看到这方面的内容，而且我自己之前也忽略了这一思路。下面我对这个思路进行一点探索。

由于只打算做一些启发性引导，所以在这里只考虑$ Ax^2+2Bxy+Cy^2=1$这种不完全的形式（它不包含抛物线）。

对于一个复数$z=x+yi$，有
$$ x=\frac{1}{2}(z+\bar{z}) \\ y=\frac{1}{2i}(z-\bar{z})$$
将这两条式子代进去，就可以得到任意一条平面曲线的复数表达式式。对于上述二次曲线，我们可以得到：
$$(A-C+Bi)z^2+(A-C-Bi)\bar{z}^2+2(A+C)z\bar{z}=4$$

对于二次型的最终表达式，我们希望最后是只有平方项的，平方项的复数表达式为
$$z\bar{z}=x^2+y^2 \\ z^2+\bar{z}^2=2(x^2-y^2)$$

因此，我们要做的就是把二次曲线的复数表达式变换成$z\bar{z}$和$z^2+\bar{z}^2$的线性组合形式。而直接从
$$(A-C+Bi)z^2+(A-C-Bi)\bar{z}^2+2(A+C)z\bar{z}=4$$

就很容易看出，只要令
$$Z=z\sqrt{A-C+Bi}$$

上式就可以改写为
$$Z^2+\bar{Z}^2+\frac{2(A+C)}{\sqrt{(A-C)^2+B^2}}Z\bar{Z}=4$$

这就是我们期待的形式。这真是一个很讨人喜欢的巧合！这样，我们从复数出发，稍微经过了一点运算，轻松得出了二次曲线的最简形式：
$$\begin{aligned}2(X^2-Y^2)+\frac{2(A+C)}{\sqrt{(A-C)^2+B^2}}(X^2+Y^2)=4 \\ (\frac{A+C}{\sqrt{(A-C)^2+B^2}}+1)X^2+(\frac{A+C}{\sqrt{(A-C)^2+B^2}}-1)Y^2=2\end{aligned}$$

而且用矩阵化简二次曲线的时候，旋转变换的具体形式是较难给出的，但是复数就不同了，它直接告诉我们：
$$Z=z\sqrt{A-C+Bi}$$

可见，这种数的几何在某些情况下还是有相当大的优越性的。虽然矩阵代数可以完全把高维数（四元数、八元数）的结果囊括进去，但是研究一下数本身的规律，还是相当有启发性的。就好比复数在现代的量子力学中占据了本质的地位，这是发明者完全想象不了的。也许某一天，某一种数也会在描述宇宙中发挥更大的作用。这便是数学的魅力所在！

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苏剑林. (Jan. 02, 2013). 《用复数化简二次曲线的尝试 》[Blog post]. Retrieved from https://spaces.ac.cn/archives/1851

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        title={用复数化简二次曲线的尝试},
        author={苏剑林},
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