太阳.jpg为了准备IOAA,同时也加深对天体物理的理解,所以就系统地学习一下天体物理学了。今天看到“太阳”这一章,并由此简单估算了一下太阳的中心压强和温度。

天体物理学给出了关于恒星结构的一些方程。假设存在一颗各项同性的球形恒星,则有
$\frac{dm(r)}{dr}=4\pi r^2 \rho(r)$————质量方程
其中m(r)是与恒星球心距离为r的一个球形区域内的总质量,$\rho(r)$是距离球心r处的物质的密度。我们也可以写成积分的形式
$m(r)=\int_0^R 4\pi r^2 \rho(r)dr$
其中R是恒星半径。这个方程的意思其实就是每一个壳层的质量叠加,所以就不详细推导了。

另外,对于恒星的压强,还给出了方程:
$\frac{dP(r)}{dr}=-\frac{Gm(r)}{r^2}\rho(r)=$————流体静力学平衡方程
因为$\frac{Gm(r)}{r^2}=g(r)$,g(r)是距离球心r处的重力加速度,所以方程也可以写成:
$\frac{dP(r)}{dr}=-g(r)\rho(r)$
这个方程的推导其实也不难的。恒星也可以近似看作流体,对于一个极小的变化值dr内,$g(r)=\frac{Gm(r)}{r^2}$可以视为恒定的,厚度为dr的一个壳层,质量约为$4\pi r^2 \rho(r)dr$,重力就是$4\pi r^2 \rho(r)g(r)dr$。受力面积为$4\pi r^2$,所以此处的压强为$\Delta P=g(r)\rho(r)dr$。注意,dP是恒星(r+dr)处的压强与r处的压强差,所以dP应该为负数。所以
$dP=-g(r)\rho(r)dr$

好了,现在我们可以尝试估算一下太阳中心压强和温度了。我们可以需要有两个假设条件1.太阳是均匀的,也就是密度恒定为$\rho=1411kg//m^3$;2.太阳表面压强为0。这两个假设都是不正确的,但是对于我们简单估算太阳的相关参数来说已经足够了。

假设太阳密度恒定后,我们可以把质量方程积分得到$m(r)=\frac{4}{3}\pi r^3\rho$。并代入压强方程,有
$dP=-\frac{4}{3}G\pi r\rho^2$

积分得到:$P=-\frac{2}{3}G\pi r^2 \rho^2+C$。把初始条件(r=R,P=0)代入,求出$C=\frac{2}{3}G\pi R^2 \rho^2$,即$P=\frac{2}{3}G\pi\rho^2(R^2-r^2)$。把r=0代入,结果就是中心的压强,因此有
$P_c=\frac{2}{3}G\pi R^2 \rho^2\approx 1.347*10^{14} Pa$

又该如何估算中心温度呢?对于压强,我们有$P=nkT$,n是单位体积的分子数,$k=1.38066*10^{-23} J//K$,T是温度。对于理想气体来说,$n=\frac{\rho}{m}$,m是单个分子的平均质量。太阳中94%都是氢,因此$m\approx1.66*10^{-27}kg$,可以计算出$T_c\approx 11480000K$

误差分析:

经过更精密的理论计算,得到太阳中心压强为$3.4*10^{16}Pa$,中心温度为1500万K;压强是我们估计的近200倍,而温度则是我们估算的1.3倍。可见两个结果都偏小了。经过计算,除了让我们对太阳的研究有一个很小的了解外,我们还可以认识到太阳的密度是不均匀的(显而易见...)、太阳不是特别理想的流体等....


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