假设我是一名中学数学老师,在给学生兴致勃勃地讲“素数”,讲完素数的定义和相关性质后,正当我接着往下讲时,有个捣蛋的学生提问,“老师,你能不能举一个三位数的素数?”。可是我手头上没有1000以内的素数表,我也没记住超过100的素数,那怎么办呢?我只好在黑板上写出几个三位数,比如173、211、463,然后跟学生说“让我们来检验这些数是不是素数”。最终的结果是:它们都是素数!然后会有学生疑问:怎么会这么巧?

素数的概率

首先的问题是,任意写一个三位数,它是素数的概率是多少?三位数的素数共有143个,三位数共有900个,于是概率应该是143/900,大约是六分之一。看起来挺低的,要“蒙中”似乎不容易。然而,在上述情形,我倾向于写出素数,因此我肯定不会写偶数,也不会写5的倍数,3的倍数也是很容易排除的,只要把各个数字加起来看看能不能被3整除就行了,排除了2、3、5的倍数之后,剩下的数字大约只有
$$900\times\left(1-\frac{1}{2}\right)\times\left(1-\frac{1}{3}\right)\times\left(1-\frac{1}{5}\right)= 240$$
也就是说,我自己随手写一个三位数,希望它是素数(但是不肯定),那么我写的可选数字只有240个,而不是900个,这时概率为
$$\frac{143}{240}\approx 0.6$$
其实还不止,11的倍数也可以可以相当容易地排除的,因此240还要乘以10/11,并且三位数除以一位数的心算并不复杂,因此,我也会把7的倍数排除掉,所以,事实上备选数字只有
$$240\times\left(1-\frac{1}{7}\right)\times\left(1-\frac{1}{11}\right)\approx 187$$
所以,我猜中素数的概率为
$$\frac{143}{187}\approx 0.76$$
概率约为3/4,所以,我能写出素数的概率是很高的。而且还有一个隐藏的技巧是,我会写一些比较小的备选数字,这样它是素数的概率就更高一些了。

为什么会那么巧

上面的一个简单的虚拟小故事告诉我们,在算概率的时候,要充分把隐藏的条件给发掘出来,如果一些“小概率事件”经常发生,那么必然存在某些因素,使得概率改变了,或者这个事件本身就不是小概率事件,只不过认为将它包装为小概率事件而已。当然,包装还有另外一个倾向,就是将小概率事件包装为大概率事件,通产来说,护肤品、保健品广告就有这个倾向。这两种情况是雷同的。

生活中还有很多巧的事情,比如他和她在一起了,两个人感觉跟彼此特别有缘,因为很多事情都太巧了。比如说他约她看电影,两个人居然同时到达电影院了,这巧不巧?是的,这概率挺低的,看来确实挺巧的。然而,我们觉得很多事情太巧了,往往源于我们对巧的定义太广泛了。两个人同时到达电影院,是一件巧事,但是同时总会有个范围,误差十秒可能也算是同时,而且两个人可能事先约好了不要早到也不要迟到,所以一起到了就不算特别低的概率了。

最最关键是,如果不是同时,而是女生刚好迟到了一分钟,可能他们也会觉得挺巧了:刚好是60秒,不是61秒,不是59秒!所以,很多“巧”的发生,事实上源于我们对“巧”的定义太泛了。对于一个数学迷来说,可能迟到59秒或者61秒对他来说也是巧的(素数)。所以,我们脑海中“巧”的定义那么广泛,我们经常遇到巧事,也就不奇怪了。

生活不是缺少巧,而是缺少发现巧的眼睛。

当然,如此分析通常会让人感觉太理性了,理性到没有必要了。比如对于热恋中的两个人来说,他们通常更愿意把这些当作真正的巧合,因为在他们心中这就是“缘分”的体现。所以,这时候最佳的做法,还是不要尝试解释诸多的巧合,就让巧合来得更猛烈些吧。

最后,引用费曼的一个故事,它来自《别闹了费曼先生》,里边讲了费曼是如何企图给一个“超自然现象”寻求合理的解释的:

在我抵达医院数小时后,阿琳去世了。护士进病房来填写死亡证明书,然后离开。我陪着阿琳又过了一会儿,无意中看到我送给她的闹钟。那是七年前的事情了,当时她才刚感染上肺病,在那些日子里,这种数字钟算是很精巧的东西,它利用机械原理,能够显示数字。由于它结构极为精巧,因此很容易故障,隔不多久我便须动手修理一下;但多年来我还是没把它丢掉。这次它又停摆了——停在九点二十二分上,刚巧是死亡证明书上记下的时间!

阿琳生病期间,一直把那只钟放在床边,它却刚好在她去世的那一刻停顿。我明白,那些对这类事情疑信参半的人,在这种情况之下,不会立刻去研究事情的真相;他们会认定没人碰过那时钟,事情无法解释;而钟确实停了,确实可以算是一件惊人的超自然案例。

不过我注意到房间的灯光很暗,我甚至记得护士曾经拿起钟来,迎着光以看清楚一点,那很容易就把它弄停了。


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