23、求解拟齐次方程$\frac{dy}{dx}=x+\frac{x^3}{y}$
24、求解拟齐次方程$\ddot{x}=x^5+x^2\dot{x}$

把这两道题目放在一起说是因为我觉得这两道题目本质上是一样的,当然,不管怎样,24题更复杂一些。在24题中,设$\dot{x}=y$,则$\ddot{x}=y\frac{dy}{dx}$,于是原方程就变成:
$$\frac{dy}{dx}=x^2+\frac{x^5}{y}$$
这样就跟23题的形式差不多了。

首先我们来解23题。我解微分方程时,一般都会先分析一下有没有$y=cx^n$形式的解,这种解通常来说都是最简单的。代进去可以得到:
$$cnx^{n-1}=x+\frac{1}{c}x^{3-n}$$
可以发现这样的解确实存在,让n-1=3-n得到n=2,接着就有$2c=1+\frac{1}{c}$,得出$c=1$或$c=-\frac{1}{2}$。这样我们得到了两个特解。

然而,这对我们并没有什么特别帮助。我做到这里之后也中断了好长一段时间,前两天在课堂上重新思考这个问题,得到了一种思路。方程左边是相除的形式,右边是相加的形式,为了进行分离变量,我打算把左边变为相乘的形式,即通过变换变成$f(x')f(y')$的形式,根据右边的特点,可以设一个新变量:
$$x=t y^k$$
代进去有$x+\frac{x^3}{y}=t y^k+t^3 y^{3k-1}$。为了进行同类项合并,让$k=3k-1$,解得$k=\frac{1}{2}$,即可以考虑变换$x=t\sqrt{y}$。此时$dx=\sqrt{y}dt+\frac{t}{2\sqrt{y}}dy$。原方程就可以变为:
$$\frac{dy}{\sqrt{y}dt+\frac{t}{2\sqrt{y}}dy}=(t+t^3)\sqrt{y}$$

要注意,直到现在我们都是在摸索,我也不知道最终能否成功。将它倒过来:
$$\sqrt{y}\times \frac{\sqrt{y}dt+\frac{t}{2\sqrt{y}}dy}{dy}=\frac{1}{t+t^3}$$

整理得:
$$y\frac{dt}{dy}=\frac{1}{t+t^3}-\frac{t}{2},\frac{dy}{y}=\frac{2t(1+t^2)dt}{2-t^2-t^4}=\frac{(1+t^2)d(t^2)}{2-t^2-t^4}$$

至此,我们成功分离了变量,说明我们当初的猜测很成功。而且这个积分不算难,积分的结果是:
$$\begin{eqnarray*}Const.+ln y=-\frac{1}{3}ln[(2+t^2)(t^2-1)^2] \\ y\sqrt[3]{(2+t^2)(t^2-1)^2}=Const.\end{eqnarray*}$$

代入$x=t\sqrt{y}$,得到
$$(2y+x^2)(x^2-y)^2=C$$

这就可以看作是最终答案了。当C=0时,就得到我们先前解出的两个特解。因此,我们已经成功了求解了23题。至于24题,也是类似的,答案是将会在另外一篇文章分析。


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