科学空间|Scientific Spaces

路径积分方法为解决某些随机问题带来了新视角.

一个例子：股票价格模型

考虑有风险资产(如股票)，在$t$时刻其价格为$S_t$，考虑的时间区间为$[0,T]$，0表示初始时间，$T$表示为到期日. $S_t$看作是随时间变化的连续时间变量，并服从下列随机微分方程:
$$dS_t^0=rS_t^0 dt;\quad dS_t=S_t(\mu dt+\sigma dW_t).\tag{70}$$
其中，$\mu$和$\sigma$是两个常量，$W_t$是一个标准布朗运动.

关于$S_t$的方程是一个随机微分方程，一般解决思路是通过随机微积分. 随机微积分有别于一般的微积分的地方在于，随机微积分在做一阶展开的时候，不能忽略$dS_t^2$项，因为$dW_t^2=dt$. 比如，设$S_t=e^{x_t}$，则$x_t=\ln S_t$
$$\begin{aligned}dx_t=&\ln(S_t+dS_t)-\ln S_t=\frac{dS_t}{S_t}-\frac{dS_t^2}{2S_t^2}\\
=&\frac{S_t(\mu dt+\sigma dW_t)}{S_t}-\frac{[S_t(\mu dt+\sigma dW_t)]^2}{2S_t^2}\\
=&\mu dt+\sigma dW_t-\frac{1}{2}\sigma^2 dW_t^2\quad(\text{其余项均低于}dt\text{阶})\\
=&\left(\mu-\frac{1}{2}\sigma^2\right) dt+\sigma dW_t\end{aligned}
,\tag{71}$$

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趁着早上有空，就赶紧把这篇文章写好吧。下午高考成绩要公布了，公布后也许又会有一段时间忙碌了。这应该是“费曼积分法”系列最后一篇文章了。它主要讲的还是费曼积分法的一个实例。不同的是，这是BoJone首次独立地用费曼积分法解决了一个问题。之前提到的一些例子，都是书本提供并结合了提示，BoJone才把它们算出来的。所以这个问题有着点点纪念意义。

数学研发论坛上wayne曾求证这样的命题：

$\int_0^{\infty}\frac{f(x,2m-1)-\sin x}{x^{2m+1}}dx$其中，f(x,2m-1)表示sinx的2m-1阶泰勒展开
如m=1时，
$$\int_0^{\infty}\frac{x-\sin x}{x^3}dx$$
m=2时
$$\int_0^{\infty}\frac{x-\frac{x^3}{6}-\sin x}{x^5}dx$$
借助软件我发现结果是：
$\frac{\pi(-1)^{m-1}}{2(2m)!}$

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由于自行车之旅的原因，这篇文章被搁置了一个星期，其实应该在一个星期前就把它写好的。这篇文章继续讲讲费曼积分法的一些例子。读者或许可以从这些不同类型的例子中，发现它应用的基本方向和方法，从而提升对它的认识。

例子2：

$$\int_0^{\infty} \frac{\sin x}{x}dx$$

这也是一种比较常见的类型，它的形式为$\int \frac{f(x)}{x}dx$，对于这种形式，我们的第一感觉就是将其改写成参数形式$\int \frac{f(ax)}{x}dx$，这样的目的很简单，就是把分母给消去了，与$\int \frac{x}{f(x)}dx$的求积思想是一致的。但是深入一点研究就会发现，纵使这样能够消去分母，使得第一次积分变得简单，但是到了第二次积分的时候，我们发现，它又会变回$\int \frac{f(x)}{x}dx$的积分，使我们不能继续进行下去，因此这个取参数的方法大多数情况下都是不行的。

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上一篇文章我对“费曼积分法”做了一个简单的介绍，并通过举例来初步展示了它的操作步骤。但是，要了解一个方法，除了知道它能够干什么之外，还必须了解它的原理和方法，这样我们才能够更好地掌握它。因此，我们需要建立“积分符号内取微分”的一般理论，为进一步的应用奠基。

一般原理

我们记
$$G(a)=\int_{m(a)}^{n(a)} f(x,a)dx$$

在这里，f(x,a)是带有参数a的关于x的函数，而积分区间是关于参数a的两个函数，这样的积分也叫变限积分，可以理解为是普通定积分的推广。我们记F(x,a)为f(x,a)的原函数，也就是说$\frac{\partial F(x,a)}{\partial x}=f(x,a)$，那么按照微积分基本定理，我们就有：
$$G(a)=F(n(a),a)-F(m(a),a)$$

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帅气的天才科学家费曼

似乎有好久都没有写文章感觉，高考结束了，继续研究。先总结一下考前的一些结果。

这个文章讲的是一个叫“积分符号内取微分”东西，这是一个很有趣而且有用的求定积分的方法。在这里我又擅自把它叫做“费曼积分法”，因为我是从费曼的自传《别闹了，费曼先生》中看到这种方法的。当然，费曼不是这个方法的首创者，他仅仅是是喜欢、熟练这种方法，并将它记载在了自传中。具体情况是怎样的呢？我先不多说，请读者直接看《别闹了，费曼先生》中的情节。

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