科学空间|Scientific Spaces

刘徽

话说当年我国古代数学家刘徽创立“割圆术”计算圆周率的事迹，在今天已被不少学生知晓；虽不能说家喻户晓，但是也为各教科书以及老师津津乐道。和古希腊的“数学之神”阿基米德同出一辙，刘徽也是使用圆的内接、外切正多边形来逼近圆形的；不一样的是，刘徽使用的方法是计算半径为1的圆的内接、外切正多边形的面积，而阿基米德计算的则是直径为1的圆的内接、外切正多边形的周长。两者的计算效果有什么区别呢？其实阿基米德的方法应该更快一点，阿基米德算到正n边形所得到的值，相当于刘徽算到正2n边形了。

在此我们不再对两者的计算方法进行区分，因为两者的本质都是一样的。按照现代数学的写法，“割圆术”的理论依据是
$$lim_{n\to \infty} n \sin(\frac{\pi}{n})=\pi\tag{1}$$
当然，刘徽不可能有现代计算正弦函数值的公式（现在计算正弦函数值一般用泰勒级数展开，而泰勒级数展开需要用到$\pi$的值），甚至在他那个时代就连笔墨也没有，据我所知即使是后来的祖冲之推算圆周率时，唯一的计算工具也只是现在称为“算筹”的小棍。不过刘徽还是凭借着超强的毅力，利用递推的方法逐步求圆周率。

点击阅读全文...

转载自：matrix67.com

注：这篇文章里有很多个人观点，带有极强的主观色彩。其中一些思想不见得是正确的，有一些话也是我没有资格说的。我只是想和大家分享一下自己的一些想法。大家记得保留自己的见解。也请大家转载时保留这段话。

我不是一个数学家。我甚至连数学专业的人都不是。我是一个纯粹打酱油的数学爱好者，只是比一般的爱好者更加执着，更加疯狂罢了。初中、高中一路保送，大学不在数学专业，这让我可以不以考试为目的地学习自己感兴趣的数学知识，让我对数学有如此浓厚的兴趣。从 05 年建立这个 Blog 以来，每看到一个惊人的结论或者美妙的证明，我再忙都会花时间把它记录下来，生怕自己忘掉。不过，我深知，这些令人拍案叫绝的雕虫小技其实根本谈不上数学之美，数学真正博大精深的思想我恐怕还不曾有半点体会。

我多次跟人说起，我的人生理想就是，希望有一天能学完数学中的各个分支，然后站在一个至高点，俯瞰整个数学领域，真正体会到数学之美。但是，想要实现这一点是很困难的。最大的困难就是缺少一个学习数学的途径。看课本？这就是我今天想说的——课本极其不靠谱。

点击阅读全文...

这是一个古老而有趣的问题，但在引入这个问题之前，我们首先来看一个简单的问题：

整数边直角三角形的面积能否为一个完全平方数？

答案是不能。我们可以举一些例子来检验一下，例如边长为3,4,5的直角三角形面积为6，6不是一个平方数；再如边长为5,12,13的直角三角形面积为30，30也不是一个平方数...当然，数学的最近目的是要求严格证明，而不是简单举例，否则就只得称为不完全归纳，这样得出来的是一个猜想，而不是“定理”，就好象著名的“哥德巴赫猜想”...本文我们将试图证明这个命题。

我们稍后还会发现，这个问题和以下问题是等价的：
是否存在一个面积为1的三边长都是有理数的直角三角形？

更让人意外的是，这个问题也等价于方程$x^4+y^4=z^4$并没有整数解，换句话说，我们要证明n=4时的“费马大定理”！

点击阅读全文...

1798年法国数学家勒让德提出：
$$\pi(n)\sim\frac{n}{\ln n}$$

这个式子被成为“素数定理”(the Prime Number Theorem, PNT)。它表达的是什么意思呢？其中$\pi(N)$指的是不大于N的素数个数，$\frac{N}{\ln N}$是一个计算结果，符号~叫做“渐近趋于”，整个式子意思就是“不大于N的素数个数渐近趋于$\frac{N}{\ln N}$”；简单来讲，就是说$\frac{N}{\ln N}$是$\pi(N)$的一个近似估计。也许有的读者会问为什么不用≈而用~呢？事实上，~包含的意思还有：
$$\lim_{N-\infty} \frac{\pi(N) \ln N}{N}=1$$

点击阅读全文...

（本文已被刊登在2012年1月的《天文爱好者》上，于笔者而言这是一份很棒的新年礼物！）

在去年第七期《天爱》上，我们看到了N体问题所呈现出来的一些对称、漂亮的周期轨道，这体现了N体问题和谐有序的一面。但是这仅仅是N体问题的冰山一角，笔者也提到过N体问题的本质是混沌、无序的，通俗来讲就是非常乱，无法用数学方程来精确描述。这看起来是一种不完美。但试想，探索当初伽利略将望远镜对准月球后，看到的是如想象中光滑的月面，那么他还会惊叹宇宙的神奇吗？

本文就让我们来更深入地了解一下N体问题的研究历史。

观测&拟合时代

由于人类的自我优越感以及日月星辰东升西落的经验，让我们长期都认为地球是宇宙的中心。第一个比较系统提出地心说的人当属天文学家欧多克斯（Eudoxus，死于公元前347年左右），但他的地心说是非常粗糙的，以至于无法解释很多基本现象，如无法准确预言日食和解释行星逆行等。但亚里士多德接受了地心说，并且由于他在政治和科学上的权威，使地心说免去了夭折的命运。后来托勒密通过他的本轮，完善了地心说，使之延续到了16世纪。

点击阅读全文...

这篇文章其实在年初就完成了。

众所周知，我们生活在一个平坦的世界中。正如我们能够感受到的那样，在这个被称为“欧几里得平直空间”的世界里，空间里两点间的最短曲线是两点间的直线段，空间里的任意直角三角形都满足勾股定理，每个物体都有着自己的长、宽、高，它们都随着时间的流逝而运动着。这种世界观把时间独立于空间之外，作为一个独特的研究对象。但是自爱因斯坦在1905年发表狭义相对论以来，我们的宇宙就被描述成为了由三维空间和一维时间组成的“四维时空”，在这里，时间和空间的地位是等价的。不少同好们也许会感到非常困惑：即使证明了时间与空间的确存在着某种联系，也不必要把时间描述成是世界的一维吧？在我们的感官里，时间明明就和空间的三维差别甚大，时间和空间怎么能够等同起来呢？其实答案很简单：为了美。把时间看成与空间等价的一维之后，整个力学体系体现出一种前所未有的对称美，这种美不仅让人赏心悦目，而且极大地方便了我们进一步处理问题。

对称

点击阅读全文...

计算机模拟的希格斯粒子（“上帝粒子”）衰变

笔者：对于科学界来说，七月份最重大的事情莫过于在LHC我们终于发现了希格斯玻色子的踪迹。BoJone到《新科学家》网站上选取了一篇文章进行翻译，让大家了解其中的一些事情。当然，发现这个希格斯玻色子已经是七月四号的事情了，现在已经是非常迟到了，中间的原因就是宇宙驿站的故障了......迟到总比没到好，现在发出来，与大家共勉。翻译得不好，请指出毛病，高手见笑了^_^

庆祝希格斯玻色子的最终发现！

作者：日内瓦的CERN 的Celeste Biever 2012年7月4日

点击阅读全文...

分类：千奇百怪,物理化学 标签：翻译, 模型, 粒子, 玻色子 阅读全文 3 评论

站长注：这篇文章来源于网络，原文是繁体中文版本，我经过修改整理而成。它原来是《费曼的6堂Easy物理课》这本书的解说，但是由于内容上的详细和扼要，我更愿意把它当做物理学家费曼的解说，与大家分享。

伟哉！费曼

社会上普遍有种错误的想法，总以为科学是完全客观的，不但不会因人而异，更不会感情用事。对比之下，科学以外的各种人类活动，则多多少少会受到一般潮流动向、突发的时尚风潮，以及当事人的性格、偏好所左右。唯有科学，得受制于科学社群都同意的规则、步骤，与严密的测试、检验。科学仅着重于得到的结论，而不在乎谁是做研究、做实验的人。

以上说法显然是无稽之谈，科学既然靠人推动，就跟其他人类活动相同，都会受到大环境趋势及个人意念的影响。在科学领域，研究潮流的趋向受到主题素材选择的影响并不大，却相当取决于当时科学家对整个世界的看法。

点击阅读全文...