科学空间|Scientific Spaces

我们在高中甚至初中，都有可能遇到这样的题目：

设$x,y,z$是非负整数，问$x+y+z=2014$有多少组不同的解？（不同顺序视为不同的解）

难度稍高点，可以改为

设$x,y,z$是非负整数，$0\leq x\leq y\leq z$，问$x+y+z=2014$有多少组不同的解？

这些问题都属于整数的分拆问题（广为流传的哥德巴赫猜想也是一个整数分拆问题）。有很多不同的思路可以求解这两道题，然而，个人认为这些方法中最引人入胜的（可能也是最有力的）首推“生成函数法”。

关于生成函数，本节就不多作介绍了，如果缺乏相关基础的朋友，请先阅读相关资料了解该方法。不少数论的、离散数学的、计算机科学的书籍中，都介绍了生成函数法（也叫母函数法）。本质上讲，母函数法能有诸多应用，是因为$x^a\times x^b=x^{a+b}$这一性质的成立。

点击阅读全文...

假设我是一名中学数学老师，在给学生兴致勃勃地讲“素数”，讲完素数的定义和相关性质后，正当我接着往下讲时，有个捣蛋的学生提问，“老师，你能不能举一个三位数的素数？”。可是我手头上没有1000以内的素数表，我也没记住超过100的素数，那怎么办呢？我只好在黑板上写出几个三位数，比如173、211、463，然后跟学生说“让我们来检验这些数是不是素数”。最终的结果是：它们都是素数！然后会有学生疑问：怎么会这么巧？

素数的概率

首先的问题是，任意写一个三位数，它是素数的概率是多少？三位数的素数共有143个，三位数共有900个，于是概率应该是143/900，大约是六分之一。看起来挺低的，要“蒙中”似乎不容易。

点击阅读全文...

之前笔者曾写过《初试在Python中使用PARI/GP》，简单介绍了一下在Python中调用PARI/GP的方法。PARI/GP是一个比较强大的数论库，“针对数论中的快速计算（大数分解，代数数论，椭圆曲线...）而设计”，它既可以被C/C++或Python之类的编程语言调用，而且它本身又是一种自成一体的脚本语言。而如果仅仅需要高精度的大数运算功能，那么GMP似乎更满足我们的需求。

了解C/C++的读者都会知道GMP（全称是GNU Multiple Precision Arithmetic Library，即GNU高精度算术运算库），它是一个开源的高精度运算库，其中不但有普通的整数、实数、浮点数的高精度运算，还有随机数生成，尤其是提供了非常完备的数论中的运算接口，比如Miller-Rabin素数测试算法、大素数生成、欧几里德算法、求域中元素的逆、Jacobi符号、legendre符号等^[来源]。虽然在C/C++中调用GMP并不算复杂，但是如果能在以高开发效率著称的Python中使用GMP，那么无疑是一件快事。这正是本文要说的gmpy2。

点击阅读全文...

今天上近世代数课，老师谈到除环，举了一个非交换的除环的粒子，也就是四元数环，然后谈到“实数域上有限维可除代数只有4种”，也就是实数本身、复数、四元数和八元数（这里的可除代数就是除环）。这句话我听起来有点熟悉，又好像不大对劲。我记得在某本书上看过，定义为实数上的超复数系，如果满足模的积性，那么就只有以上四种。但是老师的那句话表明即使去掉模的积性，也只有四种。我自然以为老师记错了，跟老师辩论了一翻，然后回到宿舍又找资料，最终确定：实数域上有限维可除代数真的只有四种！下面简单谈谈我对这个问题的认识。

当然，这里不可能给出这个命题的证明，因为这个证明相当不简单，笔者目前也没有弄懂，但是粗略感觉一下为什么，还是有可能的。看到这个命题，我们一下子的感觉可能是：怎么会这么少！我们这里通过例子简单说明一下，确实不会多！

我们已经对复数系很熟悉了，也就是定义在实数上的向量空间，基为$\{1,i\}$，并且给定乘法为
$$1\times i=i \times 1=i,\quad 1^2=1,\quad i^2=-1$$

点击阅读全文...

（译自 陶哲轩 博客, 译者 liuxiaochuang）
（英文原文：Does one have to be a genius to do maths?）

这个问题的回答是一个大写的：不！为了达到对数学有一个良好的，有意义的贡献的目的，人们必须要刻苦努力；学好自己的领域，掌握一些其他领域的知识和工具；多问问题；多与其他数学工作者交流；要对数学有个宏观的把握。当然，一定水平的才智，耐心的要求，以及心智上的成熟性是必须的。但是，数学工作者绝不需要什么神奇的“天才”的基因，什么天生的洞察能力；不需要什么超自然的能力使自己总有灵感去出人意料的解决难题。

大众对数学家的形象有一个错误的认识：这些人似乎都使孤单离群的（甚至有一点疯癫）天才。他们不去关注其他同行的工作，不按常规的方式思考。他们总是能够获得无法解释的灵感（或者经过痛苦的挣扎之后突然获得），然后在所有的专家都一筹莫展的时候，在某个重大的问题上取得了突破的进展。这样浪漫的形象真够吸引人的，可是至少在现代数学学科中，这样的人或事是基本没有的。在数学中，我们的确有很多惊人的结论，深刻的定理，但是那都是经过几年，几十年，甚至几个世纪的积累，在很多优秀的或者伟大的数学家的努力之下一点一点得到的。每次从一个层次到另一个层次的理解加深的确都很不平凡，有些甚至是非常的出人意料。但尽管如此，这些成就也无不例外的建立在前人工作的基础之上，并不是全新的。（例如， Wiles 解决费马最后定理的工作，或者Perelman 解决庞加莱猜想的工作。）

点击阅读全文...

昨晚上初等数论的时候，有这么一道题

求证
$$\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{5}x^5+\frac{7}{15}x$$
恒为整数，其中$x$是一个整数。

更一般地，可以得到
$$\sum_{p\in\mathbb{P}}\frac{1}{p}x^p + \left(1-\sum_{p\in\mathbb{P}}\frac{1}{p}\right)x$$
恒为整数，其中$\mathbb{P}$是有限个素数的集合，还有更多整数值函数问题。要证明这些函数的值恒为整数，可以通过同余分析，证明分子总能被分母整除。但是，更妙的、同时往往会更简单的方法是，将结果赋予必然为整数的意义——可以是计算上的，也可以是操作上的。

点击阅读全文...

伽马函数
$$\Gamma(x)=\int_0^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}dt$$
作为阶乘的推广，会让很多初学者感到困惑，对于笔者来说也不例外。一个最自然的问题就是：这般复杂的推广公式是如何得到的？

在cos.name的文章《神奇的伽马函数》中，有比较详细地对伽马函数的历史介绍，笔者细读之后也获益匪浅。但美中不足的是，笔者还是没能从中找到引出伽马函数的一种“自然”的办法。所谓“自然”，并不是说最简单的，而是根据一些基本的性质和定义，直接把伽马函数的表达式反解出来。它的过程和运算也许并不简单，但是思想应当是直接而简洁的。当然，我们不能苛求历史上伽马函数以这种方式诞生，但是作为事后探索是有益的，有助于我们了解伽马函数的特性。于是笔者尝试了以下途径，得到了一些结果，可是也得到了一些困惑。

点击阅读全文...

写在前面：本文是笔者数学建模课的作业，探讨了两生物种群竞争的常微分方程组模型的解的性质，展示了微分方程定性理论的基本思想。当然，本文最重要的目的，是展示LaTeX与Python的完美结合。（本文的图均由Python的Matplotlib模块生成；而文档则采用LaTeX编辑。）

问题提出

研究在同一个自然环境中生存的两个种群之间的竞争关系。假设两个种群独自在这个自然环境中生存时数量演变都服从Logistic规律，又假设当它们相互竞争时都会减慢对方数量的增长，增长速度的减小都与它们数量的乘积成正比。按照这样的假设建立的常微分方程模型为
$$\begin{equation}\label{eq:jingzhengfangcheng}\left\{\begin{aligned}\frac{dx_1}{dt}=r_1 x_1\left(1-\frac{x_1}{N_1}\right)-a_1 x_1 x_2 \\
\frac{dx_2}{dt}=r_2 x_2\left(1-\frac{x_2}{N_2}\right)-a_2 x_1 x_2\end{aligned}\right.\end{equation}$$
本文分别通过定量和定性两个角度来分析该方程的性质。

点击阅读全文...