31
Oct
《新理解矩阵2》：矩阵是什么？
By 苏剑林 | 2012-10-31 | 37373位读者 | 引用上一篇文章中我从纯代数运算的角度来讲述了我对矩阵的一个理解，可以看到，我们赋予了矩阵相应的运算法则，它就在代数、分析等领域显示出了巨大作用。但是纯粹的代数是不足够的，要想更加完美，最好是找到相应的几何对象能够与之对应，只有这样，我们才能够直观地理解它，以达到得心应手的效果。
几何理解
我假设读者已经看过孟岩的《理解矩阵》三篇文章，所以更多的细节我就不重复了。我们知道，矩阵A
$$\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}$$
事实上由两个向量$[a_{11},a_{21}]^T$和$[a_{12},a_{22}]^T$（这里的向量都是列向量）组成，它描述了一个平面（仿射）坐标系。换句话说，这两个向量其实是这个坐标系的两个基，而运算$y=Ax$则是告诉我们，在$A$这个坐标系下的x向量，在$I$坐标系下是怎样的。这里的$I$坐标系就是我们最常用的直角坐标系，也就是说，任何向量（包括矩阵里边的向量），只要它前面没有矩阵作用于它，那么它都是在直角坐标系下度量出来的。
4
Nov
《新理解矩阵3》：行列式的点滴
By 苏剑林 | 2012-11-04 | 41143位读者 | 引用本文的最新版本位于：http://kexue.fm/archives/2208/
亲爱的读者朋友们，科学空间版的理解矩阵已经来到了BoJone认为是最激动人心的部分了，那就是关于行列式的叙述。这部分内容没有在孟岩的文章中被谈及到，是我自己结合了一些书籍和网络资源而得出的一些看法。其中最主要的书籍是《数学桥》，而追本溯源，促进我研究这方面的内容的是matrix67的那篇《教材应该怎么写》。本文包含了相当多的直观理解内容，在我看来，这部分内容也许不是正统的观点，但是至少在某种程度上能够促进我们对线性代数的理解。
大多数线性代数引入行列式的方式都是通过讲解线性方程组的，这种方式能够让学生很快地掌握它的计算，以及给出了一个最实际的应用（就是解方程组啦）。但是这很容易让读者走进一个误区，让他们认为线性代数就是研究解方程组的。这样并不能让读者真正理解到它的本质，而只有当我们对它有了一个直观熟练的感觉，我们才能很好地运用它。
行列式的出现其实是为了判断一个矩阵是否可逆的，它通过某些方式构造出一个“相对简单”的函数来达到这个目的，这个函数就是矩阵的行列式。让我们来反思一下，矩阵可逆意味着什么呢？之前已经提到过，矩阵是从一个点到另外一个点的变换，那么逆矩阵很显然就是为了把它变换回来。我们还说过，“运动是相对的”，点的变换又可以用坐标系的变换来实现。但是，按照我们的直觉，不同的坐标系除了有那些运算上的复杂度不同（比如一般的仿射坐标系计算点积比直角坐标系复杂）之外，不应该有其他的不同了，用物理的语言说，就是一切坐标系都是平权的。那么给出一个坐标系，可以自然地变换到另外一个坐标系，也可以自然地将它变换回来。既然矩阵是这种坐标系的一个描述，那么矩阵不可逆的唯一可能性就是：
这个$n$阶矩阵的$n$个列向量根本就构不成一个$n$维空间的坐标系。
6
Nov
王骁威：勇敢的追梦者
By 苏剑林 | 2012-11-06 | 40744位读者 | 引用破解数学猜想
王骁威
今天在看《广州日报》时，偶然发现了一个不曾听闻的名字——王骁威。
他，跟我一样是一个90后，是韶关学院的大四学生，而现在，他多了一点名头：“仅用1表示数问题中的素数猜想”这一难题的破解者。
“仅用1表示数问题中的素数猜想”出现在加拿大数学家Richard K·Guy的著作《数论中未解决的问题》中，是上世纪50年代，加拿大数学家Richard K·Guy提出一个数论猜想：对于给定的素数p，$f(p)=f(p-1)+1$是否能成立。其中，“仅用1表示数”指的是只用1通过加法和乘法以及括号来表示自然数，对于给定的自然数n，用1来表示时，1的最少个数记为$f(n)$。据说在之前就有诸多数学家论证过，在3亿之前的素数里，上述猜想是成立的。
但是王骁威通过举出反例证否了这个命题，他指出p=353942783时这个公式并不成立。他是经过四个月的钻研，王骁威运用集合论的运算、分析、优化，才成功发现这个猜想的反例的。发现反例之后，王骁威陷入兴奋，把整理成的报告寄给国内几家杂志社，结果却令他失望，几家杂志社对他的论文均不感兴趣。“我也怀疑过自己的努力是否值得，但对数学的强烈兴趣让我坚持下来。”王骁威说自己将论文译成英文，英文名为《A counterexample to the prime conjecture of expressing numbers using just ones》（中文名为《仅用1表示数中素数猜想的一个反例》），投往全球最权威的数论杂志———美国艾斯维尔出版社的《Journal of Number Theory》（数论杂志），国外专家的青睐终于让他收获成功的喜悦，论文发表在杂志第133期（明年二月）上。数学大师丘成桐也通过邮件与王骁威交流，并对他表示肯定。
11
Nov
《新理解矩阵4》：相似矩阵的那些事儿
By 苏剑林 | 2012-11-11 | 54776位读者 | 引用这篇文章估计是这个系列最后一篇了，也许以后会继续谈到线性代数，但是将会独立开来讲述。本文主要讲的是相似矩阵的一些事情，本文的观点很是粗糙，自己感觉都有点模糊，因此请读者细细阅读。在孟岩的文章里头，它对矩阵及其相似有了一个非常精彩的描述：
“矩阵是线性空间中的线性变换的一个描述。在一个线性空间中，只要我们选定一组基，那么对于任何一个线性变换，都能够用一个确定的矩阵来加以描述。”
同样的，对于一个线性变换，只要你选定一组基，那么就可以找到一个矩阵来描述这个线性变换。换一组基，就得到一个不同的矩阵。所有这些矩阵都是这同一个线性变换的描述，但又都不是线性变换本身。
Astronomy Calendar of Celestial Events
2012年全年天象
翻译自NASA：http://eclipse.gsfc.nasa.gov/SKYCAL/SKYCAL.html
（北京时间）
一月
01 日 14:15 上弦月
01 日 金星位于： 34° E
03 二 04:19 月球过远地点： 404600 km
04 三 15:23 象限仪座流星雨：ZHR = 120
05 四 11:59 地球过近日点：0.9833 AU
05 四 17:17 月合昴宿星团 3.1° N
06 五 22:30 月亮过升交点
07 六 05:46 月亮过最北点: 22.5° N
09 一 15:30 满月
16 一 15:21 月合角宿一 2° N
16 一 17:08 下弦月
18 三 05:28 月球过近地点： 369900 km
20 五 02:26 月亮过降交点
20 五 10:12 月亮过最南点: 22.5° S
23 一 15:39 新月
31 二 01:42 月球过远地点：404300 km
31 二 12:10 上弦月
30
Nov
算子与线性常微分方程(上)
By 苏剑林 | 2012-11-30 | 41778位读者 | 引用简介
最近在学习量子力学的时候，无意中涉及到了许多矩阵（线性代数）、群论等知识，并且发现其中有不少相同的思想，其中主要是用算子来表示其对函数的作用和反作用。比如我们可以记$D=\frac{d}{dx}$，那么函数$f(x)$的导数就可以看作是算子D对它的一次作用后的结果，二阶导数则是作用了两次，等等。而反过来，$D^{-1}$就表示这个算子的反作用，它把作用后的函数（像）还原为原来的函数（原像），当然，这不是将求导算子做简单的除法，而是积分运算。用这种思想来解答线性微分方程，有着统一和简洁的美。
线性微分方程是求解一切微分方程的基础，一般来说它形式比较简单，多数情况下我们都可以求出它的通解。在非相对论性量子力学的薛定谔方程中，本质上就是在求解一道二阶偏线性微分方程。另一方面，在许多我们无法求解的非线性系统中，线性解作为一级近似，对于定性分析是极其重要的。
一阶线性常微分方程
这是以下所有微分方程求积的一个基础形式，即$\frac{dy}{dx}+g(x)y=f(x)$的求解。这是通过常数变易法来解答的，其思想跟天体力学中的“摄动法”是一致的，首先在无法求解原微分方程的时候，先忽略掉其中的一些小项，求得一个近似解。即我们先求解
$$\frac{dy}{dx}+g(x)y=0$$
30
Nov
算子与线性常微分方程(下)
By 苏剑林 | 2012-11-30 | 21426位读者 | 引用不可交换
很自然会想到把这种方法延伸到变系数微分方程的求解，也许有读者回去自己摆弄了一下却总得不到合适的解而感到困惑。在这里群的非Abel性就体现出来了，首先用一个例子来说明一下，我们考虑算子的复合
$$(D-x)(D+x)=D^2-x^2+(Dx-xD)$$
我们要谨慎使用交换律，我们记$[P,Q]=PQ-QP$
其中P和Q是两个算子，此即量子力学中的“对易式”，用来衡量算子P和算子Q的可交换程度，当然，它本身也是一个算子。我们先来求出$[D,x]$给出了什么（要是它是0的话，那就表明运算可以交换了）。究竟它等于什么呢？直接看是看不出的，我们把它作用于一个函数：
$$[D,x]y=(Dx-xD)y=D(xy)-xDy=yDx+xDy-xDy=y$$
由于“近水楼台先得月”，所以$Dxy$表示x先作用于y，然后D再作用于(xy)；而$xDy$表示D先作用于y，然后x再作用于Dy。最终我们得到了
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