《方程与宇宙》:活力积分和开普勒方程(二)
By 苏剑林 | 2010-03-27 | 58794位读者 | 引用在上一回的讨论中,我们已经解决了大部分的问题,并且表达了找到r或者$\theta$关于时间t的函数的希望。在最后的内容中,我们做了以下工作:
由(7)得到$\dot{\theta}=h/r^2$,代入(6)得到:
$$\ddot{r} -h^2/r^3=-\frac{\mu}{r^2}\tag{10}$$这是一个二阶微分方程,它的解很容易找出,但是这个积分太复杂:
$$\dot{r}\frac{d\dot{r}}{dr}=h^2/r^3-\frac{\mu}{r^2}$$
$\dot{r}d\dot{r}=(h^2/r^3-\frac{\mu}{r^2})dr$,两端积分
$$\dot{r}^2={2\mu}/r-h^2/r^2+K_1\tag{11}$$$$\Rightarrow {dt}/{dr}=\frac{r}{\sqrt{K_1 r^2+2\mu r-h^2}}$$
$t=\int \frac{r}{\sqrt{K_1 r^2+2\mu r-h^2}}dr$
《方程与宇宙》:抛物线与双曲线轨道(三)
By 苏剑林 | 2010-04-03 | 51647位读者 | 引用关于自由落体公式的简单修正
By 苏剑林 | 2010-04-04 | 68423位读者 | 引用自由落体的一般定义是:只考虑吸引天体和被吸引天体的引力因素,忽略其他的运动和大气摩擦等因素,物体从静止(相对于吸引天体)开始接近吸引天体的运动。根据这个定义,假设地球为一个均匀球体,半径为r,质量为M,物体从距离地表h高度处自由落下。求落到地面的时间t,或者根据时间t求h。
令s为t时刻物体左右下落的物体与地表的距离,忽略物体的小质量,那么可以列出微分方程:
$$\frac{d^2 s}{dt^2}=-\frac{GM}{(r+s)^2}\tag{1}$$并且初始条件是$t=0,s=h,\dot{s}=v=0$
在实际应用中,我们不必求出这道微分方程的精确解,因为这个解极其麻烦,在之前曾经讨论过。我们只需要求出一个有足够精确度的近似解就行。
【奥赛之行】非同一般的天文奥赛
By 苏剑林 | 2010-04-18 | 23403位读者 | 引用2010年4月全球天文月(One People,One Sky)
By 苏剑林 | 2010-04-06 | 79914位读者 | 引用直上云霄的无穷指数方程
By 苏剑林 | 2010-02-06 | 30460位读者 | 引用函数图像旋转公式(“想当然”的教训)
By 苏剑林 | 2010-02-09 | 103420位读者 | 引用MathPlayer 2.2发布,大家升级啦!
By 苏剑林 | 2010-02-13 | 19698位读者 | 引用如果你已经安装了MathPlayer,就这里检查一下你的版本是否最新版:
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