科学空间|Scientific Spaces

在《让MathJax更好地兼容谷歌翻译和延时加载》我们提到Cool Papers加入了MathJax来解析LaTeX公式，不过万万没想到引发了诸多兼容性问题，虽然部分问题纯粹是笔者的强迫症作祟，但一个尽可能完美的解决方案终究是让人赏心悦目的，所以还是愿意在上面花一点心思。

上一篇文章我们已经解决了MathJax与谷歌翻译、延时加载的兼容性，这篇文章我们则来解决MathJax与Marked的冲突。

问题简述

Markdown是一种轻量级标记语言，允许人们使用易读易写的纯文本格式编写文档，可谓是目前最流行的写作语法之一，Cool Papers中的[Kimi]功能，基本上也是按照Markdown语法输出。然而。Markdown并不是直接面向浏览器的语言，面向浏览器的语言叫做HTML，所以在展示给用户之前，有一个Markdown转HTML的过程（渲染）。

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在前面的文章中，我们曾表达过这样的观点：多模态LLM相比纯文本LLM的主要差异在于，前者甚至还没有形成一个公认为标准的方法论。这里的方法论，不仅包括之前讨论的生成和训练策略，还包括一些基础架构的设计，比如本文要谈的“多模态位置编码”。

对于这个主题，我们之前在《Transformer升级之路：17、多模态位置编码的简单思考》就已经讨论过一遍，并且提出了一个方案（RoPE-Tie）。然而，当时笔者对这个问题的思考仅处于起步阶段，存在细节考虑不周全、认识不够到位等问题，所以站在现在的角度回看，当时所提的方案与完美答案还有明显的距离。

因此，本文我们将自上而下地再次梳理这个问题，并且给出一个自认为更加理想的结果。

多模位置

多模态模型居然连位置编码都没有形成共识，这一点可能会让很多读者意外，但事实上确实如此。对于文本LLM，目前主流的位置编码是RoPE（RoPE就不展开介绍了，假设读者已经熟知），更准确来说是RoPE-1D，因为原始设计只适用于1D序列。后来我们推导了RoPE-2D，这可以用于图像等2D序列，按照RoPE-2D的思路我们可以平行地推广到RoPE-3D，用于视频等3D序列。

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众所周知，目前主流的LLM，都是基于Causal Attention的Decoder-only模型（对此我们在《为什么现在的LLM都是Decoder-only的架构？》也有过相关讨论），而对于Causal Attention，已经有不少工作表明它不需要额外的位置编码（简称NoPE）就可以取得非平凡的结果。然而，事实是主流的Decoder-only LLM都还是加上了额外的位置编码，比如RoPE、ALIBI等。

那么问题就来了：明明说了不加位置编码也可以，为什么主流的LLM反而都加上了呢？不是说“多一事不如少一事”吗？这篇文章我们从三个角度给出笔者的看法：

1、位置编码对于Attention的作用是什么？

2、NoPE的Causal Attention是怎么实现位置编码的？

3、NoPE实现的位置编码有什么不足？

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随着算力的飞速进步，有越多越多的场景希望能够实现“算力换时间”，即通过堆砌算力来缩短模型训练时间。理想情况下，我们希望投入$n$倍的算力，那么达到同样效果的时间则缩短为$1/n$，此时总的算力成本是一致的。这个“希望”看上去很合理和自然，但实际上并不平凡，即便我们不考虑通信之类的瓶颈，当算力超过一定规模或者模型小于一定规模时，增加算力往往只能增大Batch Size。然而，增大Batch Size一定可以缩短训练时间并保持效果不变吗？

这就是接下来我们要讨论的话题：当Batch Size增大时，各种超参数尤其是学习率该如何调整，才能保持原本的训练效果并最大化训练效率？我们也可以称之为Batch Size与学习率之间的Scaling Law。

方差视角

直觉上，当Batch Size增大时，每个Batch的梯度将会更准，所以步子就可以迈大一点，也就是增大学习率，以求更快达到终点，缩短训练时间，这一点大体上都能想到。问题就是，增大多少才是最合适的呢？

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燃气灶智能化主要有两个方向：一是检测开关火状态，实现跟抽油烟机等其他设备的联动；二是实现智能关火，这包括定时关火以及接入米家（或者其他智能家居）实现语音关火、远程关火等。目前带有这两点功能的燃气灶选择并不多，并且相比普通燃气灶贵不少，单纯为了这两点功能而换一个新燃气灶并不划算，所以就出现了一些将普通燃气灶智能化的的魔改方案。

接入方案示意图

本文主要分享基于燃气灶自带的熄火保护装置，利用通断器将燃气灶接入米家，实现智能关火功能。

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在《低秩近似之路（二）：SVD》中，我们证明了SVD可以给出任意矩阵的最优低秩近似。那里的最优近似是无约束的，也就是说SVD给出的结果只管误差上的最小，不在乎矩阵的具体结构，而在很多应用场景中，出于可解释性或者非线性处理等需求，我们往往希望得到具有某些特殊结构的近似分解。

因此，从这篇文章开始，我们将探究一些具有特定结构的低秩近似，而本文将聚焦于其中的CR近似（Column-Row Approximation），它提供了加速矩阵乘法运算的一种简单方案。

问题背景

矩阵的最优$r$秩近似的一般提法是
\begin{equation}\mathop{\text{argmin}}_{\text{rank}(\tilde{\boldsymbol{M}})\leq r}\Vert \tilde{\boldsymbol{M}} - \boldsymbol{M}\Vert_F^2\label{eq:loss-m2}\end{equation}

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这篇文章的主角是ID（Interpolative Decomposition），中文可以称之为“插值分解”，它同样可以理解为是一种具有特定结构的低秩分解，其中的一侧是该矩阵的若干列（当然如果你偏好于行，那么选择行也没什么问题），换句话说，ID试图从一个矩阵中找出若干关键列作为“骨架”（通常也称作“草图”）来逼近原始矩阵。

可能很多读者都未曾听说过ID，即便维基百科也只有几句语焉不详的介绍（链接），但事实上，ID跟SVD一样早已内置在SciPy之中（参考scipy.linalg.interpolative），这侧面印证了ID的实用价值。

基本定义

前三篇文章我们分别介绍了伪逆、SVD、CR近似，它们都可以视为寻找特定结构的低秩近似：
\begin{equation}\mathop{\text{argmin}}_{\text{rank}(\tilde{\boldsymbol{M}})\leq r}\Vert \tilde{\boldsymbol{M}} - \boldsymbol{M}\Vert_F^2\end{equation}

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随着MathJax的出现和流行，在网页上显示数学公式便逐渐有了标准答案。然而，MathJax（包括其竞品KaTeX）只是负责将网页LaTeX代码转化为数学公式，对于自适应分辨率方面依然没有太好的办法。像本站一些数学文章，因为是在PC端排版好的，所以在PC端浏览效果尚可，但转到手机上看就可能有点难以入目了。

经过测试，笔者得到了一个方案，让MathJax的数学公式也能像图片一样，随着窗口大小而自适应缩放，从而尽量保证移动端的显示效果，在此跟大家分享一波。

背景思路

这个问题的起源是，即便在PC端进行排版，有时候也会遇到一些单行公式的长度超出了网页宽度，但又不大好换行的情况，这时候一个解决方案是用HTML代码手动调整一下公式的字体大小，比如

<span style="font-size:90%">
    \begin{equation}一个超长的数学公式\end{equation}
</span>

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