27 Jan

三个相切圆的公切圆

By 苏剑林 | 2014-01-27 | 63142位读者 |

在学车的时候，我堂大哥曾问我一道作圆的问题：

三圆的外切圆和内切圆 (1)
平面上给出三个两两相切的圆以及它们的圆心，求作一个圆与这三个圆都相切（尺规作图）。

如果从纯几何的途径入手，我们甚至很难判断这样的圆是否存在。但是我之前似乎已经看过类似的题目，于是很快想到一个名词：反演。反演可以将圆反演成直线（圆过反演点），也可以将圆反演成圆（圆不过反演点），而其他的相切、相交等关系保持不变。对反演后的图形进行相同的反演，就变回原来的图形。本题的难点在于圆太多，利用反演，我们可以将它变为两条直线和一个圆的问题。

假设读者已经有了反演的基本知识，如果没有，请到
http://zh.wikipedia.org/wiki/反演

阅读相关内容。

下面是作图步骤：

(1) 选择一个相切点，以相切点为圆心作一个圆（半径随意）；

三圆的外切圆和内切圆 (2)

(2) 以(1)作的圆为基础圆，作给出的三个圆的反演像。其中两个圆变为两条平行直线，第三个圆依旧反演为圆，并与两直线相切。

三圆的外切圆和内切圆 (3)

三圆的外切圆和内切圆 (4)

(3)接下来的步骤就很容易了，显然我们可以作出两个圆，与反演像中的圆和两条直线都相切。作出这两个圆后，继续以(1)的圆为基础圆，将这两个圆反演回去，就得到了所求的圆，分别对应着三个圆的外切圆和内切圆。

三圆的外切圆和内切圆 (5)

三圆的外切圆和内切圆 (6)

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