本创意装置来自牧夫天文论坛的zhangyf1997同好。

三连杆装置——“鱼”

三连杆装置——“鱼”

结构：
1、A、B为两定点，可看作有刚性杆连接；
2、AC为动力杆，绕点A转动；
3、BD为从动杆，CD为连杆。

长度数据：
1、CD=AB=√2；
2、AC=BD=1。
3、E是CD中点

求：E点的轨迹方程（即图中黑色那条，很有趣吧？）

为了求出本题的曲线方程，BoJone依旧采用向量的方法，但是这一次有点特殊，采用“质点法”记号。在《绕来绕去的向量法》中，BoJone学到了一个称之为“质点法”的东西，当然也不是什么神秘的新的东西，在我看来，它就是一种向量法的简便记号，即把向量→AB写成B−A（两个点相减），并且定义AB就是两个向量的点积→OA⋅→OB，其余都没有太大变化。只要在运算过程中记住：1、注意要使用明显的符号把“点”与“数”区分开来，不至于混淆；2、向量没有除法，不能随便在等式两边随便约去一些向量。

言归正传，在本题中，以A为原点，AB为x轴建立坐标系，可以写出：
B=(√2,0)2E=C+D

1=C2=(D−B)2=D2+B2−2DB
2=B2=(D−C)2=D2+C2−2DC

由(1)得C=2E−D，两端平方得
1=4E2+D2−4DE

将C=2E−D代入(3)得1=D2−2D(2E−D)=3D2−4ED

联合(4)(5)得到2E2=D2，将其代入(5)得到1=6E2−4ED，代入(2)得2DB=1+2E2。至此，向量的工作完成了，接下来我们只有回到坐标系了（向量已经帮助我们将问题化简成一元一次方程组了）。设E=(x,y),D=(D1,D2)，那么有
6(x2+y2)−1=4D1x+4D2y1+2(x2+y2)=2√2D1

解得到D1=1+2(x2+y2)2√2,D2=6(x2+y2)−1−4D1x4y

由2E2=D2得2(x2+y2)=D21+D22，将上面解得的D1,D2代入后化简即得轨迹方程，这是一个极度复杂的过程..

2(x2+y2)=(1+2(x2+y2)2√2)2+(6(x2+y2)−1−4(1+2(x2+y2)2√2)x4y)2

一个比较“简单”的展开结果为：
8x6−24√2x5+24x4y2+44x4−48√2x3y2−8√2x3+24x2y4+56x2y2−10x2−24√2xy4−8√2xy2+2√2x+8y6+12y4−10y2+1=0

想不到居然是一个六次曲线！不过，还可以稍稍化简一些，这个曲线由两部分组成：
2y2+2x2=2√(2)x+14(y2+x2+1−√2x)2=8x2−8√2x+5

由于运算过程实在太过复杂，就连我这个很喜欢手算的人也不想算下去，因此，这些结果都是wolframalpha完成的。

有读者能够提供更简单的方法的话，欢迎告知BoJone。

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苏剑林. (Jan. 08, 2011). 《三连杆装置曲线方程 》[Blog post]. Retrieved from https://spaces.ac.cn/archives/1168

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        title={三连杆装置曲线方程},
        author={苏剑林},
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        month={Jan},
        url={\url{https://spaces.ac.cn/archives/1168}},
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