科学空间|Scientific Spaces

对于任意的素数$p$，集合$\mathbb{Z}_p=\{0,1,2,\dots,p-1\}$在模$p$的加法和乘法之下，构成一个域，这是学过抽象代数或者初等数论的读者都会知道的一个事实。其中，根据域的定义，$\mathbb{Z}_p$首先要在模$p$的加法下成为一个交换群，而且由于$\mathbb{Z}_p$的特殊性，它还是一个循环群，这也是比较平凡的事实。但是，考虑乘法呢？

首先，$0$是没有逆元的，我们考虑乘法，是在$\mathbb{Z}^\cdot _p=\mathbb{Z}_p \verb|\| \{0\}=\{1,2,\dots,p-1\}$上考虑的。如果我说，$\mathbb{Z}^\cdot _p$在模$p$之下的乘法也作成一个循环群，这结论就不是很平凡的了！然而这确实是事实，对于所有的素数$p$均成立。而有了这事实，数论中的一些结论就会相当显然了，比如当$d\mid (p-1)$时，$\mathbb{Z}_p$中的$d$次剩余就只有$\frac{p-1}{d}$个了，这是循环群的基本结论。

在《数学天书中的证明》一书中，有该结论的一个证明，但这个证明是存在性的，而我在另外一本书上也看到过类似的存在性证明，也就是说，似乎流行的证明都是存在性的，它告诉我们$\mathbb{Z}^\cdot _p$是一个循环群，但是没告诉我们怎么找到它的生成元。而事实上，高斯在他的《算术探索》中就给出了一个构造性的证明。（在数论中，本文的结论是“原根”那一章的基本知识。）下面笔者正是要重复高斯的证明，供读者参考。

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本想着开始准备n=3的证明，但这需要引入Eisenstein整数的概念，而我们已经引入了高斯整数，高斯整数的美妙还没有很好地展示给读者。从n=4的两个证明可以知道，引入高斯整数的作用，是把诸如$z^n-y^n$的式子进行完全分解。然而，这一点并没有给我们展示多少高斯整数的神奇。读者或许已经知道，复分析中很多简单的结果，如果单纯用实数描述出来，便会给人巧夺天工的感觉，在涉及到高斯整数的数论中也是一样。本文就让我们来思考费马平方和定理，以此再领会在高斯整数中处理某些数论问题时的便捷。——我们从费马大定理谈起，但又并不仅仅只谈费马大定理。

费马平方和定理：奇素数$p$可以表示为两个整数的平方和，当且仅当该素数具有$4k+1$的形式，而且不考虑相加顺序的情况下，表示法是唯一的。

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有了上一篇文章的$\prod\limits_{p\leq n}p < 4^{n-1}$的基础，我们其实已经很接近Bertrand假设的证明了。Bertrand假设的证明基于对二项式系数$C_n^{2n}$的素因子次数的细致考察，而在本篇文章中，我们先得到一个关于素数之积的下限公式，然后由此证明一个比Bertrand假设稍微弱一点的假设。最后，则通过一个简单的技巧，将我们的证明推动至Bertrand假设。

二项式系数的素因子

首先，我们考察$n!$中的素因子$p$的次数，结果是被称为Legendre定理的公式：

$n$中素因子$p$的次数恰好为$\sum\limits_{k\geq 1}\left\lfloor\frac{n}{p^k}\right\rfloor$。

证明很简单，因为$n!=1\times 2\times 3\times 4\times \dots \times n$，每隔$p$就有一个$p$的倍数，每隔$p^2$就有一个$p^2$的倍数，每隔$p^3$就有一个$p^3$的倍数，每增加一次幂，将多贡献一个$p$因子，所以把每个间隔数叠加即可。注意该和虽然写成无穷形式，但是非零项是有限的。

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在之前的欧拉数学中，我们计算过所有素数的倒数之和，得出素数的倒数之和是发散的，从而这也是一个关于素数个数为无穷的证明。在本篇文章中，我们尝试计算所有素数之积，通过一个简单的技巧，得到素数之积的一个上限（以后我们也会计算下限），从而也得到$\pi(n)$的一个上限公式。更重要的，该估计是初等地证明Bertrand假设（说的是n与2n之间定有一个素数）的重要基础之一。本文内容部分参考自《数学天书中的证明》和《解析和概率数论导引》。

素数之积

笔者已经说过，数论的神奇之处就是它总是出人意料地把数学的不同领域联系了起来。读者很快就可以看到，本文的证明和组合数学有重要联系（但仅仅是简单的联系）。关于素数之积，我们有以下结论：

不超过$n$的所有素数之积小于$4^{n-1}$。

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进入期末了，很多同学都开始复习了，这学期我选的几门课到现在还不是很熟悉，本想也在趁着这段时间好好看看。偏生五天前我在浏览数学研发论坛的编程擂台时看到了这样的一道题目：

设对于给定的$L$，方程
$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{n}$$
满足$0 < x < y \leq L$的正整数解共有$f(L)$种情况。比如$f(6)=1,f(12)=3,f(1000)=1069$，求$f(10^{12})$。

这道题目的来源是Project Euler的第454题：Diophantine reciprocals III（丢潘图倒数方程），题目简短易懂，但又不失深度，正符合我对理想题目的定义。而且最近在学习Python学习得不亦乐乎，看到这道题目就跃跃欲试。于是乎，我的五天时间就没有了，而且过程中几乎耗尽了我现在懂的所有编程技巧。由于不断地测试运行，我的电脑发热量比平时大了几倍，真是辛苦了我的电脑。最后的代码，自我感觉已经是我目前写的最精彩的代码了。在此与大家共享和共勉~

上述表达式是分式，不利于编程，由于$n=\frac{xy}{x+y}$，于是上述题目也等价于求$(x+y)|xy$（意思是$x+y$整除$xy$）的整数解。

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在《两百万前素数之和与前两百万素数之和》中，我们用Python求了前两百万的素数和以及两百万前的素数和，并且得到了在Python 3.3中的执行时间如下：

两百万前的素数之和：
142913828922
time: 2.4048174478605646

前两百万的素数之和：
31381137530481
time: 46.75734807838953

于是想办法提高python脚本的执行效率，我觉得在算法方面，优化空间已经比较小了，于是考虑执行器上的优化。在搜索的无意间我看到了一个名词——Psyco！这是python的一个外部模块，导入后可以加快.py脚本的执行。网上也有《用 Psyco 让 Python 运行得像 C一样快》、《利用 psyco 让 Python 程序执行更快》之类的文章，说明Psyco确实是一个可行的选择，于是就跃跃欲试了，后来了解到Psyco在2012年已经停止开发，只支持到Python 2.4版本，目前它由 PyPy所接替。于是我就下载了PyPy。

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标题说了两道比较好玩的编程题，如果读者觉得标题绕的让人眩晕的话，那么让我再说得清晰一点：

两百万前素数之和指的是所有不超过两百万的素数的和；
前两百万素数之和指的是前两百万个素数的和。

我是从子谋的blog中看到这道题目的，前一道题目是Project Euler的第10题，后一道则是我跟子谋探索着玩的。关于子谋的研究和代码，大家可以去他的blog上学习。本文分享一下我自己的想法。

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第四个数字也完成了测试，这次的结果依然是否定的：$2^{29360741}-1$不是素数！
大概半年内不会有新的结果了，呵呵。

[Comm thread Apr 15 19:04] Sending result to server: UID: bojone/bojone, M29360741 is not prime. Res64: 622E909193F04555. We4: CA6D304A,26268761,00000000, AID:
[Comm thread Apr 15 19:04]
[Comm thread Apr 15 19:05] PrimeNet success code with additional info:
[Comm thread Apr 15 19:05] LL test successfully completes double-check of M29360741
[Comm thread Apr 15 19:05] CPU credit is 29.1976 GHz-days.
[Comm thread Apr 15 19:05] Done communicating with server.