科学空间|Scientific Spaces

昨天在研究一个最优化问题时，遇到了一个这样的积分：
$$\int \frac{1}{\cos^3 \theta} d\theta$$

然后就顺便研究了一下这种类型的函数的积分。一般来讲，这类积分可以写成$\int cos^n \theta d\theta$或$\int sin^n \theta d\theta$，其中n是一个整数。

首先我们来解决n=1的情况，我们很容易就有$\int cos\theta d\theta=sin\theta +C$或$\int sin\theta d\theta=-cos\theta +C$，这是一个基本的结果。

如果n是大于1的正整数，那么可以用递推的方法来搞定：

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$\sum_{i=0}^{\infty} a_i x^i=a_0+a_1 x+a_2 x^2+a_3 x^3+...$
最近为了数学竞赛，我研究了有关数列和排列组合的相关问题。由于我讨厌为某个问题而设计专门的技巧，所以我偏爱通用的方法，哪怕过程相对麻烦。因此，我对数学归纳法（递推法）和生成函数法情有独钟。前者只需要列出问题的递归关系，而不用具体分析，最终把问题转移到解函数方程上来。后者则巧妙地把数列${a_n}$与幂级数$\sum_{i=0}^{\infty} a_i x^i$一一对应，巧妙地通过代数运算或微积分运算等得到结果。这里我们不用考虑该级数的敛散性，只需要知道它对应着哪一个“母函数”（母函数展开泰勒级数后得到了级数$\sum_{i=0}^{\infty} a_i x^i$）。显然，这两种方法的最终，都是把问题归结为代数问题。

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