科学空间|Scientific Spaces

The Three Body Problem and its Classical Integration

很多天文爱好者都已经接触到了“二体问题”（我们在高中学习到的“开普勒三定律”就是内容之一），由于在太阳系中行星质量相对较小而且距离相对较远，应用“二体问题”的解对天体进行计算、预报等能够满足一定的近似需求。不过，如果需要更高精度的计算，就不能把其他行星的引力给忽略掉了，于是就产生了所谓N体问题（N-Body Problem），即N个质点尽在它们各自引力的相互作用下的运动规律问题。最简单的二体已经被彻底解决，而三体或更多体的问题则与二体大相径庭，因为庞加莱证明了，三体问题不能严格求解，而且这是一个混沌系统，任何微小的扰动都会造成不可预期的效果。

根据牛顿力学，选择惯性参考系，设三个质点分别为$M_1,M_2,M_3$，向径分别为$\vec{r_1},\vec{r_2},\vec{r_3}$，可以列出运动方程（以下的导数都默认是对时间t求导）

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The New Calculation Of Lagrangian Point 4,5

上一回我们已经求出了拉格朗日点L1,L2,L3，并且希望能够求出L4,L5两个点。由于L4,L5与“地球-太阳”连线已经不共线了，所以前边的方法貌似不能够用了。为了得到一个通用的定义，我们可以采用以下方法来描述拉格朗日点：位于拉格朗日点的天体，它与太阳的连线以及地球与太阳的连线所组成的角的大小是恒定的。（这里为了方便，采用了地日系的拉格朗日点来描述，对于一般的三体问题是一样的）

对于L4,L5来说，我们或许可以设置一个新的向量来描述这两点的向径（如$\vec{R}$）。当我们这样做后，很快就会发现这样会令我们的计算走向死胡同。因为我们发现：已知两个向量的夹角和其中一个向量，我们很难把另一个向量用已知向量的式子表达出来。不能做到这一点，就不能找出$\vec{R}$与$\vec{r}$的关系，就无法联立方程求解。难道，我们这一条路走到尽头了吗？一开始BoJone也冥思苦想不得头绪，但是...

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The New Calculation Of Lagrangian Point 1,2,3

L2_rendering

关于n体问题，选择质心或其他定点为参考点，我们可以列出下面的运动方程：
$$\ddot{\vec{r}}_k=\sum_{i=1,i != k}^{n} Gm_i\frac{\vec{r}_i-\vec{r}_k}{|\vec{r}_i-\vec{r}_k|^3}\tag{19}$$
现在我们只考虑三体问题。天文学家一直希望能够找到三体问题的简洁解，可是很遗憾，庞加莱已经证明了三体问题的解是混沌的，也就是说任何微小的扰动都有可能造成不可预料的后果（可以形象的比喻为：巴西的一只蝴蝶翅膀的扇动，有可能因此美国的一场龙卷风）。

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