科学空间|Scientific Spaces

写在前面

在《理解黎曼几何》系列，笔者分享了一些黎曼几何的“几何”心得，同时遗留了一个问题：怎么真正地去算黎曼张量？MTW的《引力论》中提到了一种基于外微分的方法，可是我不熟悉外微分，遂学习了一番。确实，是《引力论》中快捷计算曲率张量的步骤让笔者决定深入了解外微分的。果然，可观的效益是第一推动力。

这系列文章主要分享一些外微分的学习心得，曾经过多次修改和完善，包含的内容很多，比如外积、活动标架、外微分及其在黎曼几何的一些应用等，最后包括一种计算曲率的有效方式。

符号说明：在本系列中，用粗体的字母表示向量、矩阵以及基底，用普通字母来表示标量，它有可能是一个标量函数，也有可能是向量的分量，如无说明，则用$n$表示空间（流形）的维度。本文中同样使用了爱因斯坦求和法则，即相同的上下指标表示$1\sim n$遍历求和，即$\alpha_{\mu}\beta^{\mu}=\sum_{\mu=1}^{n} \alpha_{\mu}\beta^{\mu}$，习惯上将下标写在前面，比如$\alpha_{\mu}\beta^{\mu}$事实上跟$\beta^{\mu}\alpha_{\mu}$等价，但习惯写成前者。常用的一些记号是：$\mu,\nu$表示分量指标，$x^{\mu}$表示点的坐标分量，$dx^{\mu}$表示切向量（微元）的分量，$\alpha,\beta,\omega$等希腊字母也常用来表示微分形式。符号的使用有重复的地方，但符号的意义基本都在符号出现的附近有说明，因此应该不至于混淆。

最后，就是笔者其实对外微分还不是特别有感觉，因此文章中可能出现谬误之处，请读者见谅并指出。本系列命名为“外微分浅谈”，不是谦虚，确实是很浅，认识得浅，说的也很浅～

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黎曼几何在广义相对论中的体现和应用，虽然不能说家喻户晓，但想必大部分读者都有所听闻。一谈到黎曼几何在物理学中的应用，估计大家的第一反应就是广义相对论。常见的观点是，广义相对论的发现大大推动了黎曼几何的发展。诚然，这是事实，然而，大多数人不知道的事，哪怕经典的牛顿力学中，也有黎曼几何的身影。

本文要谈及的内容，就是如何将力学几何化，从而使用黎曼几何的概念来描述它们。整个过程事实上是提供了一种框架，它可以将不少其他领域的理论纳入到黎曼几何体系中。

黎曼几何的出发点就是黎曼度量，通过黎曼度量可以通过变分得到测地线。从这个意义上来看，黎曼度量提供了一个变分原理。那反过来，一个变分原理，能不能提供一个黎曼度量呢？众所周知，不少学科的基础原理都可以归结为一个极值原理，而有了极值原理就不难导出变分原理（泛函极值），如物理中就有最小作用量原理、最小势能原理，概率论中有最大熵原理，等等。如果有一个将变分原理导出黎曼度量的方法，那么就可以用几何的方式来描述它。幸运的是，对于二次型的变分原理，是可以做到的。

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令人兴奋的是，我们导出黎曼曲率的途径，还能够让我们一瞥高斯-博内公式（ Gauss–Bonnet formula）的风采，真正体验一番研究内蕴几何的味道。

高斯-博内公式是大范围微分几何学的一个经典的公式，它建立了空间的局部性质和整体性质之间的联系。而我们从一条几何的路径出发，结合一些矩阵变换和数学分析的内容，逐步导出了测地线、协变导数、曲率张量，现在可以还可以得到经典的高斯-博内公式，可见我们在这条路上已经走得足够远了。虽然过程不尽善尽美，然而并没有脱离这个系列的核心：几何直观。本文的目的，正是分享黎曼几何的一种直观思路，既然是思路，以思想交流为主，不以严格证明为目的。因此，对于大家来说，这个系列权当黎曼几何的补充材料吧。

形式改写

首先，我们可以将式$(48)$重写为更有几何意义的形式。从

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曲率的独立分量

黎曼曲率张量是一个非常重要的张量，当且仅当它全部分量为0时，空间才是平直的。它也出现在爱因斯坦的场方程中。总而言之，只要涉及到黎曼几何，黎曼曲率张量就必然是核心内容。

已经看到，黎曼曲率张量有4个指标，这也意味着它有$n^4$个分量，$n$是空间的维数。那么在2、3、4维空间中，它就有16、81、256个分量了，可见，要计算它，是一件相当痛苦的事情。幸好，这个张量有很多的对称性质，使得独立分量的数目大大减少，我们来分析这一点。

首先我们来导出黎曼曲率张量的一些对称性质，这部分内容是跟经典教科书是一致的。定义
$$R_{\mu\alpha\beta\gamma}=g_{\mu\nu}R^{\nu}_{\alpha\beta\gamma} \tag{50} $$
定义这个量的原因，要谈及逆变张量和协变张量的区别，我们这里主要关心几何观，因此略过对张量的详细分析。这个量被称为完全协变的黎曼曲率张量，有时候也直接叫做黎曼曲率张量，只要不至于混淆，一般不做区分。通过略微冗长的代数运算（在一般的微分几何、黎曼几何或者广义相对论教材中都有），可以得到
$$\begin{aligned}&R_{\mu\alpha\beta\gamma}=-R_{\mu\alpha\gamma\beta}\\
&R_{\mu\alpha\beta\gamma}=-R_{\alpha\mu\beta\gamma}\\
&R_{\mu\alpha\beta\gamma}=R_{\beta\gamma\mu\alpha}\\
&R_{\mu\alpha\beta\gamma}+R_{\mu\beta\gamma\alpha}+R_{\mu\gamma\alpha\beta}=0
\end{aligned} \tag{51} $$

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现在我们来关注黎曼曲率。总的来说，黎曼曲率提供了一种方案，让身处空间内部的人也能计算自身所处空间的弯曲程度。俗话说，“不识庐山真面目，只缘身在此山中”，还有“当局者迷，旁观者清”，等等，因此，能够身处空间之中而发现空间中的弯曲与否，是一件很了不起的事情，就好像我们已经超越了我们现有的空间，到了更高维的空间去“居高临下”那样。真可谓“心有多远，路就有多远，世界就有多远”。

如果站在更高维空间的角度看，就容易发现空间的弯曲。比如弯曲空间中有一条测地线，从更高维的空间看，它就是一条曲线，可以计算曲率等，但是在原来的空间看，它就是直的，测地线就是直线概念的一般化，因此不可能通过这种途径发现空间的弯曲性，必须有一些迂回的途径。可能一下子不容易想到，但是各种途径都殊途同归后，就感觉它是显然的了。

怎么更好地导出黎曼曲率来，使得它能够明显地反映出弯曲空间跟平直空间的本质区别呢？为此笔者思考了很长时间，看了不少参考书（《引力与时空》、《场论》、《引力论》等），比较了几种导出黎曼曲率的方式，简要叙述如下。

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向量与联络

当我们在我们的位置建立起自己的坐标系后，我们就可以做很多测量，测量的结果可能是一个标量，比如温度、质量，这些量不管你用什么坐标系，它都是一样的。当然，有时候我们会测量向量，比如速度、加速度、力等，这些量都是客观实体，但因为测量结果是用坐标的分量表示的，所以如果换一个坐标，它的分量就完全不一样了。

假如所有的位置都使用同样的坐标，那自然就没有什么争议了，然而我们前面已经反复强调，不同位置的人可能出于各种原因，使用了不同的坐标系，因此，当我们写出一个向量$A^{\mu}$时，严格来讲应该还要注明是在$\boldsymbol{x}$位置测量的：$A^{\mu}(\boldsymbol{x})$，只有不引起歧义的情况下，我们才能省略它。

到这里，我们已经能够进行一些计算，比如$A^{\mu}$是在$\boldsymbol{x}$处测量的，而$\boldsymbol{x}$处的模长计算公式为$ds^2 = g_{\mu\nu} dx^{\mu} dx^{\nu}$，因此，$A^{\mu}$的模长为$\sqrt{g_{\mu\nu} A^{\mu}A^{\nu}}$，它是一个客观实体。

如图，可以在球面上每一点建立不同的局部坐标系，至少这些坐标系的竖直方向的轴指向是不一样的。

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测地线

黎曼度量应该是不难理解的，在微分几何的教材中，我们就已经学习过曲面的“第一基本形式”了，事实上两者是同样的东西，只不过看待问题的角度不同，微分几何是把曲面看成是三维空间中的二维子集，而黎曼几何则是从二维曲面本身内蕴地研究几何问题。

几何关心什么问题呢？事实上，几何关心的是与变换无关的“客观实体”（或者说是在变换之下不变的东西），这也是几何的定义。根据Klein提出的《埃尔朗根纲领》，几何就是研究在某种变换（群）下的不变性质的学科。如果把变换局限为刚性变换（平移、旋转、反射），那么就是欧式几何；如果变换为一般的线性变换，那就是仿射几何。而黎曼几何关心的是与一切坐标都无关的客观实体。比如说，我有一个向量，方向和大小都确定了，在直角坐标系是$(1, 1)$，在极坐标系是$(\sqrt{2}, \pi/4)$，虽然两个坐标系下的分量不同，但它们都是指代同一个向量。也就是说向量本身是客观存在的实体，跟所使用的坐标无关。从代数层面看，就是只要能够通过某种坐标变换相互得到的，我们就认为它们是同一个东西。

因此，在学习黎曼几何时，往“客观实体”方向思考，总是有益的。

平面上的测地线

有了度规，可以很自然地引入“测地线”这一实体。狭义来看，它就是两点间的最短线——是平直空间的直线段概念的推广（实际的测地线不一定是最短的，但我们先不纠结细节，而且这不妨碍我们理解它，因为测地线至少是局部最短的）。不难想到，只要两点确定了，那么不管使用什么坐标，两点间的最短线就已经确定了，因此这显然是一个客观实体。有一个简单的类比，就是不管怎么坐标变换，一个函数$f(x)$的图像极值点总是确定的——不管你变还是不变，它就在那儿，不偏不倚。

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黎曼度量

几何，英文名是Geometry，原意是大地测量。既然是测量，就必须有参考物，还有得知道如何计算距离。

有了参照物，我们就可以建立坐标系，把每个点的坐标都写下来，至于计算距离，我们有伟大的勾股定理：
$$ds^2 = dx^2 + dy^2 \tag{1} $$
但这里我们忽略了两个问题。

第一个问题是，我们不一定使用直角坐标系，如果使用极坐标，那么应该是
$$ds^2 = dr^2 + r^2 d\theta^2 \tag{2} $$
因此可以联想，最一般的形式应该是
$$ds^2 = E(x^1, x^2)(dx^1)^2 + 2F(x^1, x^2)dx^1 dx^2 + G(x^1, x^2)(dx^2)^2 \tag{3} $$
这里的$x^1,x^2$是广义坐标，使用上标而不是下标来标记序号，是为了跟传统的教材记号一致。那这公式是什么意思呢？其实很简单，正如我们没理由要求全世界都使用人民币一样，我们没必要要求世界各地都使用同一个坐标系，而更合理的做法是，每一处地方都使用自己的坐标系（局部坐标系），然后给出当地计算距离的方法。因此，上述公式正是说，在位置$(x^1, x^2)$处计算向量$(dx^1, dx^2)$的长度的公式（当地的勾股定理）是$ds^2 = E(x^1, x^2)(dx^1)^2 + 2F(x_1, x_2)dx^1 dx^2 + G(x^1, x^2)(dx^2)^2$。

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