科学空间|Scientific Spaces

含有$n$个一阶常微分方程的一阶常微分方程组
$$\dot{\boldsymbol{x}}=\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}$$
其中$\boldsymbol{x}=(x_1(t),\dots,x_n(t))^{T}$为待求函数，而$\boldsymbol{A}=(a_{ij}(t))_{n\times n}$为已知的函数矩阵。现在已知该方程组的$n-1$个线性无关的特解$\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\dots,\boldsymbol{x}_{n-1}$（解的列向量），求方程的通解。

这是我的一位同学在6月5号问我的一道题目，我当时看了一下，感觉可以通过李对称的方法很容易把解构造出来，当晚就简单分析了一下，发现根据李对称的思想，由上面已知的信息确实足以把通解构造出来。但是我尝试了好几天，尝试了几何、代数等思想，都没有很好地构造出相应的正则变量出来，从而也没有写出它的显式解，于是就搁置下来了。今天再分析这道题目时，竟在无意之间构造出了让我比较满意的解来~

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由于重装系统时的粗心大意，笔者把《求解微分方程的李对称方法》的Word文档弄丢了，更不幸的是存有该文档的U盘也弄丢了~没办法，只好重新把这篇文章录入了。幸好之前曾把它打印成纸质版，还有旧稿可以参考。现发布《求解微分方程的李对称方法（二）》，希望能够为对李对称方法有兴趣的朋友提供些许资源。

相比（一），（二）将所有内容重新用CTex录入了，果然，$\LaTeX$才是写数学论文软件中的佼佼者，虽然是纯代码编辑，但是这正符合我追求简洁清晰的风格。在内容上，（二）增加了一阶常微分方程组的内容，并对（一）的部分细节做了修改，本文完成后就初步相对完整地叙述了一阶常微分方程组的李对称积分的思路，内容增加到了13页。而在接下来的（三）中，将会提供李代数的内容；如果有（四）的话，就会谈到李对称方法的计算机实现。希望大家会喜欢这系列文章。更期待大家的读后感（包括挑错）^_^

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马里乌斯·索菲斯·李

在这篇日志发表之前，科学空间在整个十月就只是在国庆期间发了一篇小感想，这是比较少见的。一个小原因是这学期社团（广播台）方面的活动有点多，当然这不是主要的，其实这个月我大多数课余时间放到了两件事情上：一是无线电路的入门，二就是本文所要讲的《求解微分方程的李对称方法》。

李对称方法主要是通过发现微分方程的对称性来求解微分方程。我首次接触到这个方法是在一本叫《微分方程与数学物理问题》的书上边，书中写得很清晰易懂，后来我还买了类似的《微分方程的对称与积分方法》，后者相对抽象一些，讨论也深入一些。在我目前发现的中文书籍中，这是唯一的两本以李对称方法求解微分方程为主题的书。这两本书还有一个共同特点，就是它们都是外国教材的翻译版。

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在上一篇文章中我们得到了第23题的解，本来想接着类似地求第24题，但是看着23题的答案，又好像发现了一些新的东西，故没有继续写下去。等到今天在课堂上花了一节课研究了一下之后，得到了关于这种拟齐次微分方程的一些新的结果，遂另开一篇新文章，与大家分享。

一、特殊拟齐次微分方程的通解

在上一篇文章中，我们求出了拟齐次微分方程$\frac{dy}{dx}=x+\frac{x^3}{y}$的解：
$$(2y+x^2)(x^2-y)^2=C$$
或者写成这样的形式：
$$(y+\frac{1}{2} x^2)(y-x^2)^2=C$$

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23、求解拟齐次方程$\frac{dy}{dx}=x+\frac{x^3}{y}$
24、求解拟齐次方程$\ddot{x}=x^5+x^2\dot{x}$

把这两道题目放在一起说是因为我觉得这两道题目本质上是一样的，当然，不管怎样，24题更复杂一些。在24题中，设$\dot{x}=y$，则$\ddot{x}=y\frac{dy}{dx}$，于是原方程就变成：
$$\frac{dy}{dx}=x^2+\frac{x^5}{y}$$
这样就跟23题的形式差不多了。

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微分方程领域大放光彩

虽然微分方程在各个计算领域都能一展才华，不过它最辉煌的光芒无疑绽放于微分方程领域，包括常微分方程和偏微分方程。海王星——“笔尖上发现的行星”——就是摄动法的著名成果，类似的还有冥王星的发现。天体力学家用一颗假设的行星的引力摄动来解释已知行星的异常运动，并由此反推未知行星的轨道。我们已不止一次提到过，一般的三体问题是混沌的，没有精确的解析解。这就要求我们考虑一些近似的方法，这样的方法发展起来就成为了摄动理论。

跟解代数方程一样，摄动法解带有小参数或者大参数的微分方程的基本思想，就是将微分方程的解表达为小参数或大参数的幂级数。当然，这是最直接的，也相当好理解，不过所求得的级数解有可能存在一些性态不好的情况，比如有时原解应该是一个周期运动，但是级数解却出现了诸如$t \sin t$的“长期项”，这是相当不利的，因此也发展出各种技巧来消除这些项。可见，摄动理论是一门应用广泛、集众家所大成的实用理论。下面我们将通过一些实际的例子来阐述这个技巧。

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不可交换

很自然会想到把这种方法延伸到变系数微分方程的求解，也许有读者回去自己摆弄了一下却总得不到合适的解而感到困惑。在这里群的非Abel性就体现出来了，首先用一个例子来说明一下，我们考虑算子的复合
$$(D-x)(D+x)=D^2-x^2+(Dx-xD)$$

我们要谨慎使用交换律，我们记$[P,Q]=PQ-QP$

其中P和Q是两个算子，此即量子力学中的“对易式”，用来衡量算子P和算子Q的可交换程度，当然，它本身也是一个算子。我们先来求出$[D,x]$给出了什么（要是它是0的话，那就表明运算可以交换了）。究竟它等于什么呢？直接看是看不出的，我们把它作用于一个函数：
$$[D,x]y=(Dx-xD)y=D(xy)-xDy=yDx+xDy-xDy=y$$

由于“近水楼台先得月”，所以$Dxy$表示x先作用于y，然后D再作用于(xy)；而$xDy$表示D先作用于y，然后x再作用于Dy。最终我们得到了

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简介

最近在学习量子力学的时候，无意中涉及到了许多矩阵（线性代数）、群论等知识，并且发现其中有不少相同的思想，其中主要是用算子来表示其对函数的作用和反作用。比如我们可以记$D=\frac{d}{dx}$，那么函数$f(x)$的导数就可以看作是算子D对它的一次作用后的结果，二阶导数则是作用了两次，等等。而反过来，$D^{-1}$就表示这个算子的反作用，它把作用后的函数（像）还原为原来的函数（原像），当然，这不是将求导算子做简单的除法，而是积分运算。用这种思想来解答线性微分方程，有着统一和简洁的美。

线性微分方程是求解一切微分方程的基础，一般来说它形式比较简单，多数情况下我们都可以求出它的通解。在非相对论性量子力学的薛定谔方程中，本质上就是在求解一道二阶偏线性微分方程。另一方面，在许多我们无法求解的非线性系统中，线性解作为一级近似，对于定性分析是极其重要的。

一阶线性常微分方程

这是以下所有微分方程求积的一个基础形式，即$\frac{dy}{dx}+g(x)y=f(x)$的求解。这是通过常数变易法来解答的，其思想跟天体力学中的“摄动法”是一致的，首先在无法求解原微分方程的时候，先忽略掉其中的一些小项，求得一个近似解。即我们先求解
$$\frac{dy}{dx}+g(x)y=0$$

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